Равномерно распределённая нагрузка: как с ней считать

Равномерно распределённая нагрузка q — сила, приходящаяся на единицу длины, в кН/м. Для реакций её заменяют равнодействующей q·a, приложенной в середине участка длиной a. Для эпюр так делать нельзя: под ней поперечная сила меняется линейно, а момент — по параболе.

Собственный вес балки, снег на кровле, давление грунта на стенку — всё это нагрузки, размазанные по длине, а не приложенные в точке. В задачах их задают интенсивностью q и рисуют частоколом стрелок.

С такой нагрузкой ошибаются чаще, чем с сосредоточенной силой: её то забывают умножить на длину, то заменяют равнодействующей там, где этого делать нельзя.

Интенсивность и равнодействующая

Интенсивность q — сколько килоньютонов приходится на один метр. Это не сила, и складывать её с сосредоточенными силами нельзя. Сила получается умножением на длину загруженного участка.

Равнодействующая равна площади эпюры нагрузки: для равномерной — прямоугольник q на a. Приложена она в центре тяжести этой площади, то есть посередине участка.

Равнодействующая
Qq=q aQ_{q} = q\,a
Её момент относительно края участка
Mq=q a⋅a2=qa22M_{q} = q\,a \cdot \frac{a}{2} = \frac{q a^{2}}{2}

Где замена разрешена, а где нет

Для уравнений равновесия всей балки — реакций опор — нагрузку можно заменить равнодействующей: сумма сил и сумма моментов от этого не меняются.

Для эпюр — нельзя. В сечении внутри загруженного участка работает только та часть нагрузки, что лежит по одну сторону от него, со своей равнодействующей и своим плечом. Заменив нагрузку целиком, вы получите вместо параболы ломаную.

Как она выглядит на эпюрах

На участке с нагрузкой q поперечная сила меняется линейно — наклон прямой равен q. Изгибающий момент меняется по квадратной параболе, выпуклой навстречу нагрузке.

Экстремум момента на таком участке — там, где поперечная сила проходит через ноль. Это следует из зависимости dM/dz = Q и служит главной проверкой построенных эпюр.

Дифференциальные зависимости
dQdz=−q,dMdz=Q\frac{dQ}{dz} = -q, \qquad \frac{dM}{dz} = Q
Наибольший момент однопролётной балки
Mmax⁡=ql28M_{\max} = \frac{q l^{2}}{8}
Момент в заделке консоли
MA=ql22M_{A} = \frac{q l^{2}}{2}

На числах

Консоль длиной 2 м под нагрузкой 10 кН/м: равнодействующая 20 кН приложена на расстоянии 1 м, и момент в заделке — 20 кН·м.

Равнодействующая нагрузки
20 кН
Её плечо до заделки
1 м
Момент в заделке
20 кН·м
Момент в середине консоли
−5 кН·м
Q — наклонная прямая, M — парабола
Q — наклонная прямая, M — парабола
Весь разбор целиком: Как построить эпюры Q и M для консоли с распределённой нагрузкой →

Где обычно ошибаются

  • Складывают q с сосредоточенными силами

    Интенсивность — это кН на метр, а не кН. Сначала умножить на длину участка: здесь нагрузка 10 кН/м на длине 2 м даёт силу 20 кН.

  • Заменяют нагрузку равнодействующей при построении эпюр

    Для реакций можно, для эпюр — нет. В середине консоли момент −5 кН·м, а не половина момента в заделке: работает только нагрузка, лежащая за сечением.

  • Прикладывают равнодействующую не в середине

    У равномерной нагрузки равнодействующая стоит посередине загруженного участка, а не всего пролёта. Если нагрузка занимает часть балки, плечо считают до середины этой части.

Частые вопросы

Как перевести распределённую нагрузку в сосредоточенную?

Умножить интенсивность на длину загруженного участка и приложить результат в его середине. Так делают только для реакций опор, но не для эпюр внутри участка.

Почему на эпюре M под распределённой нагрузкой парабола?

Потому что поперечная сила там меняется линейно, а момент — её интеграл по длине. Интеграл линейной функции — квадратная парабола.

Зависимости между q, Q и M →
Где у балки с распределённой нагрузкой наибольший момент?

Там, где поперечная сила меняет знак. У однопролётной балки с нагрузкой по всей длине — ровно в середине, у консоли — в заделке.

Опасное сечение →

Попробовать на своей задаче

Статически определимые балки — считать онлайн

Рядом по теме