Двухопорная балка с распределённой нагрузкой

1. 1

   Ось и реакции по симметрии

   Ось z ведём от левой опоры вправо: z = 0 — опора A, z = 6 м — опора B. Начало отсчёта задано, и этой координатой пользуемся до конца разбора, включая поиск экстремума.

   Нагрузка симметрична, опоры тоже — значит, каждая берёт ровно половину всего, что лежит на балке. Полный груз равен площади эпюры нагрузки, то есть произведению интенсивности на длину.

   $$Q_{\text{равн}} = q\,l; \qquad R_A = R_B = \frac{q\,l}{2}$$
   $$Q_{\text{равн}} = 10\ \text{кН/м} \cdot 6\ \text{м} = 60\ \text{кН}; \qquad R_A = R_B = 30\ \text{кН}$$
   Полная нагрузка

   60 кН

   Реакция каждой опоры

   30 кН

   Суммарная нагрузка 60 кН, на каждую опору приходится 30 кН.

2. 2

   Поперечная сила и точка её нуля

   На балке всюду лежит нагрузка, поэтому Q нигде не постоянна: она убывает равномерно от реакции на левой опоре, по мере того как нагрузка «съедает» её. Наклон эпюры равен интенсивности q со знаком минус — прямая, а не ступеньки.

   Самое важное здесь — точка, в которой Q обращается в ноль. Для симметричной схемы это ровно середина. Отмечать её надо обязательно: именно она даст координату максимального момента.

   $$Q(z) = R_A - q\,z; \qquad Q = 0 \;\Rightarrow\; z = \frac{l}{2}$$
   $$Q(0) = 30\ \text{кН}; \qquad Q(3\ \text{м}) = 0\ \text{кН}$$
   Q у левой опоры

   30 кН

   Q в середине

   0 кН

   Наклонная прямая от 30 кН до симметричного значения у правой опоры, с нулём в середине, z = 3 м.

3. 3

   Момент: парабола с максимумом ql²/8

   Слева от сечения z действуют реакция на плече z и часть нагрузки q·z, приложенная в середине отрезка, то есть на плече z/2. Первое слагаемое линейное, второе квадратичное — вместе они дают параболу, выпуклостью вверх.

   Подставляя z = l/2, получаем ql²/8 — вторую по узнаваемости формулу курса после Fl/4. Заметьте: у консоли при той же нагрузке было ql²/2, то есть вчетверо больше. Две опоры вместо одной заделки радикально разгружают конструкцию.

   $$M(z) = R_A\,z - \frac{q\,z^{2}}{2}; \qquad M_{\max} = \frac{q\,l^{2}}{8}$$
   $$M(1{,}5\ \text{м}) = 33{,}75\ \text{кН·м}; \qquad M(3\ \text{м}) = \frac{10 \cdot 6^{2}}{8} = 45\ \text{кН·м}$$
   M в четверти пролёта

   33,75 кН·м

   Максимальный момент

   45 кН·м

   Максимум 45 кН·м посередине. В четверти пролёта — 33,75 кН·м, то есть три четверти от максимума: парабола у вершины пологая, и балка нагружена почти одинаково на всей средней трети.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Балки», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §4.1.

• Пишут ql²/2 вместо ql²/8

  ql²/2 — это консоль, где нагрузку держит одна заделка. На двух опорах момент вчетверо меньше: 45 кН·м. Формулы похожи написанием и совершенно разные по величине.

• Считают равнодействующую и умножают на пол-пролёта

  Так получается вдвое больше правильного. Полная равнодействующая 60 кН действует не в сечении, а распределена по нему; в момент входит только та часть, что слева от сечения, и со своим плечом.

• Проводят эпюру M ломаной

  Под равномерной нагрузкой момент квадратичен, эпюра — парабола. Прямые линии означали бы, что нагрузки на участке нет; ломаная вершина — что там сосредоточенная сила.

• Забывают отметить нуль поперечной силы

  Точка z = 3 м, где Q = 0 кН, — это и есть координата максимума момента. Без неё максимум ищут наугад, а в несимметричных схемах и вовсе не находят.