Как считать консоль, если действуют и сила, и распределённая нагрузка

1. 1

   Ось отсчёта и равнодействующая распределённой части

   Координату z отсчитываем от заделки вправо: z = 0 — защемление, z = 3 м — свободный конец с грузом. Одна ось на весь разбор, как и положено.

   Распределённую нагрузку для поиска реакций заменяем равнодействующей: её величина равна площади прямоугольной эпюры нагрузки, а точка приложения — центр тяжести этой площади, то есть середина консоли. Сосредоточенную силу заменять не нужно, она уже сосредоточенная.

   $$Q_{\text{равн}} = q\,l, \qquad z_c = \frac{l}{2}$$
   $$Q_{\text{равн}} = 8\ \text{кН/м} \cdot 3\ \text{м} = 24\ \text{кН}, \qquad z_c = 1{,}5\ \text{м}$$
   Равнодействующая

   24 кН

   Её плечо от заделки

   1,5 м

   Распределённая нагрузка свелась к силе 24 кН на плече 1,5 м. Сравните с грузом 10 кН на плече 3 м — интересно, что даст больший момент.

2. 2

   Реакции: складываем вклады

   Вертикальная реакция уравновешивает всё, что положено на балку: и равнодействующую распределённой нагрузки, и сосредоточенный груз. Реактивный момент — сумма моментов обеих нагрузок относительно заделки, каждая со своим плечом.

   Вклады полезно посчитать по отдельности, а не одной строкой: так видно, кто главный виновник, и легче найти арифметическую ошибку, если итог не сойдётся.

   $$R_A = q\,l + F; \qquad M_A = \frac{q\,l^{2}}{2} + F\,l$$
   $$\begin{aligned} R_A &= 24\ \text{кН} + 10\ \text{кН} = 34\ \text{кН}, \\[2pt] M_A &= \frac{8 \cdot 3^{2}}{2} + 10 \cdot 3 = 36 + 30 = 66\ \text{кН·м} \end{aligned}$$
   Вклад нагрузки q

   36 кН·м

   Вклад силы F

   30 кН·м

   Реакция заделки

   34 кН

   Реактивный момент

   66 кН·м

   Распределённая нагрузка даёт в заделку 36 кН·м, груз — 30 кН·м, вместе 66 кН·м. Обратите внимание: равнодействующая распределённой нагрузки больше груза, а момент от неё меньше — всё решило вдвое меньшее плечо.

3. 3

   Поперечная сила Q(z)

   Идём слева: в сечении z сумма вертикальных сил — это реакция минус та часть распределённой нагрузки, которая уже осталась позади. Груз на торце в счёт пока не идёт, он появится только на самом конце.

   Поэтому эпюра Q — наклонная прямая, но, в отличие от чистой распределённой нагрузки, до нуля она не доходит: на торце остаётся ступенька высотой ровно 10 кН, которую и снимает груз.

   $$Q(z) = R_A - q\,z$$
   $$Q(0\ \text{м}) = 34\ \text{кН}; \qquad Q(3\ \text{м}) = 10\ \text{кН}$$
   Q перед грузом

   10 кН

   Наибольшая Q

   34 кН

   От 34 кН в заделке до 10 кН у торца — и дальше скачок в ноль под грузом. Незакрытая до нуля эпюра Q у консоли всегда означает сосредоточенную силу на конце.

4. 4

   Изгибающий момент M(z)

   Здесь удобнее правая часть: справа от сечения лежат кусок распределённой нагрузки длиной (l − z) с плечом (l − z)/2 и груз F с плечом (l − z). Ось при этом прежняя — меняем только сторону суммирования.

   В сумме получается квадратичное слагаемое от распределённой нагрузки и линейное от груза. Эпюра — парабола, но более крутая у заделки, чем была бы без груза: линейная добавка подпирает её снизу.

   $$M(z) = -\left[\frac{q\,(l-z)^{2}}{2} + F\,(l-z)\right]$$
   $$M(0\ \text{м}) = -66\ \text{кН·м}; \qquad M(1{,}5\ \text{м}) = -24\ \text{кН·м}; \qquad M(3\ \text{м}) = 0$$
   M в заделке

   −66 кН·м

   M посередине

   −24 кН·м

   Расчётный момент

   66 кН·м

   −66 кН·м в защемлении, −24 кН·м посередине, ноль на незагруженном торце. Опасное сечение — заделка, расчётный момент 66 кН·м.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Статически определимые балки», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §1.6.

• Складывают равнодействующую и силу, а потом умножают на общее плечо

  Плечи у нагрузок разные: 1,5 м у распределённой и 3 м у груза. Общего плеча не существует — момент считают по слагаемым, иначе вместо 66 кН·м получается заметно больше.

• Забывают, что эпюра Q не должна закрыться в ноль

  На торце остаётся 10 кН — это груз, который ещё не учтён. Многие «дотягивают» эпюру до нуля из эстетических соображений и теряют силу из расчёта.

• Считают, что бо́льшая равнодействующая всегда опаснее

  Здесь у распределённой нагрузки равнодействующая 24 кН против 10 кН у груза, а в заделку она даёт меньше: 36 кН·м против 30 кН·м. Решает произведение силы на плечо, а не сама сила.

• Пробуют искать экстремум внутри пролёта

  Экстремум был бы там, где Q обращается в ноль, но у этой консоли Q нигде не пересекает ось: она идёт от 34 кН до 10 кН, оставаясь положительной. Максимум момента — на краю.

• Меняют ось между шагами

  Реакции удобно считать от заделки, момент — от торца, и в этом месте легко завести вторую координату. В разборе ось одна: z от заделки, а в выражении M(z) стоит (l − z) именно потому, что сторону меняем, а не отсчёт.