Балка с одной консолью

1. 1

   Ось и реакции: опора со свесом перегружена

   Ось z ведём от левого конца балки: z = 0 — опора A, z = 4 м — опора B, z = 6 м — свободный конец свеса. Начало отсчёта именно в левом торце, а не в опоре B, и координата эта единственная.

   Реакции ищем моментными уравнениями. Важная деталь: груз на свесе стоит ЗА опорой B, поэтому его момент относительно A и момент нагрузки в пролёте крутят балку в одну сторону. В результате опора B берёт на себя гораздо больше, чем A, — она держит и пролёт, и свес.

   $$\sum M_A = 0 \;\Rightarrow\; R_B\,z_B = q\,z_B \cdot \frac{z_B}{2} + F\,l$$
   $$R_A = 16\ \text{кН}; \qquad R_B = 32\ \text{кН}$$
   Реакция A

   16 кН

   Реакция B

   32 кН

   16 кН на левой опоре против 32 кН на правой — вдвое больше. Проверка: сумма реакций равна всей нагрузке, то есть 10 кН/м на 4 м плюс 8 кН.

2. 2

   Поперечная сила: скачок над опорой

   В пролёте Q убывает от реакции A: нагрузка постепенно её съедает. К опоре B она успевает не только обнулиться, но и уйти в минус — накопленной нагрузки больше, чем реакции A.

   Над опорой B происходит скачок вверх на всю величину её реакции. Дальше, на свесе, Q постоянна и равна грузу: распределённой нагрузки там нет.

   $$Q(z_B^{-}) = R_A - q\,z_B; \qquad Q(z_B^{+}) = Q(z_B^{-}) + R_B$$
   $$Q(4\ \text{м}^{-}) = -24\ \text{кН}; \qquad Q(4\ \text{м}^{+}) = 8\ \text{кН}$$
   Q слева от опоры B

   −24 кН

   Q справа

   8 кН

   С −24 кН на 8 кН — ступенька высотой в реакцию 32 кН. Наибольшая по модулю поперечная сила 24 кН как раз слева от опоры B: там же проверяют стенку на срез.

3. 3

   Момент: две зоны и точка перегиба

   Считать проще с двух концов. Со стороны свеса всё просто: справа от сечения только груз, момент растёт линейно и над опорой достигает произведения силы на вылет — со знаком минус, потому что свес выгибается вниз и растянуты верхние волокна.

   В пролёте картина обычная: парабола от нуля на опоре A. Но заканчивается она не нулём, а тем самым отрицательным значением над опорой B. Значит, где-то между ними эпюра пересекает ось — это точка перегиба, в ней момент равен нулю и растянутая сторона меняется.

   $$M(z_B) = -\,F \cdot \text{вылет}; \qquad M_{\text{прол}} = M(z) \big|_{Q=0}$$
   $$M(4\ \text{м}) = -\,8 \cdot 2 = -16\ \text{кН·м}; \qquad M(1{,}6\ \text{м}) = 12{,}8\ \text{кН·м}$$
   Момент над опорой B

   −16 кН·м

   Максимум в пролёте

   12,8 кН·м

   Его координата

   1,6 м

   Над опорой −16 кН·м, в пролёте максимум 12,8 кН·м при z = 1,6 м. Расчётным оказывается опорный момент 16 кН·м — по модулю он больше пролётного.

4. 4

   Что это значит для конструкции

   Опорный момент оказался больше пролётного — типичная ситуация для балок со свесом. Проверять сечение надо по нему, и в железобетоне именно над опорой ставят верхнюю арматуру: там растянута верхняя зона.

   Свес при этом работает и на пользу: он разгружает пролёт. Без груза на конце пролётный момент был бы заметно больше — консоль как бы «подтягивает» эпюру вниз. На этом эффекте строят балки с оптимальным вылетом.

   Расчётный момент

   16 кН·м

   Расчётная поперечная сила

   24 кН

   Опасное сечение — над опорой B, z = 4 м, расчётный момент 16 кН·м при поперечной силе 24 кН.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Балки», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §4.1.

• Считают опорный момент по левой части

  Слева от опоры B лежат реакция A и вся распределённая нагрузка — три действия вместо одного. Справа только груз: −16 кН·м получается умножением 8 кН на 2 м, и ошибиться негде.

• Обрывают эпюру M нулём на опоре B

  Нуль на опоре бывает у крайней шарнирной опоры, за которой ничего нет. Здесь за опорой свес, и момент над ней равен −16 кН·м. Занулив его, теряют как раз расчётное сечение.

• Берут максимумом пролётный момент

  Сравнивать надо модули: 12,8 кН·м в пролёте против −16 кН·м над опорой. Здесь опорный больше, и профиль подбирают по нему.

• Забывают про скачок Q над опорой

  Реакция 32 кН — сосредоточенная сила, и она даёт на эпюре Q ступеньку с −24 кН на 8 кН. Без неё эпюра на свесе получится с неверным знаком, а вместе с ней поедет и момент.

• Отсчитывают координату свеса от опоры B

  Соблазн понятный: на консоли удобно считать от заделки. Но ось в разборе одна, от левого торца, и свес занимает участок от 4 м до 6 м. Вторая координата рядом с первой почти гарантированно даст ошибку в плече.