Балка с двумя консолями

1. 1

   Ось и симметрия

   Ось z начинаем в левом торце балки: z = 0 — конец левой консоли, z = 2 м — опора A, z = 6 м — опора B, z = 8 м — конец правой консоли. Начало отсчёта в торце, а не в опоре, и другой координаты не появится.

   Схема симметрична относительно середины: одинаковые вылеты, одинаковые грузы, нагрузка ровно между опорами. Значит, реакции равны половине всего, что лежит на балке, а моментное уравнение писать не обязательно — достаточно суммы проекций.

   $$R_A = R_B = \frac{q \cdot \text{пролёт} + 2F}{2}$$
   $$R_A = R_B = \frac{12 \cdot 4 + 2 \cdot 10}{2} = 34\ \text{кН}$$
   Реакция каждой опоры

   34 кН

   По 34 кН на каждую опору. Если бы схема была несимметричной, пришлось бы писать два моментных уравнения — симметрия сэкономила половину работы.

2. 2

   Поперечная сила по четырём участкам

   Участков четыре: левая консоль, пролёт до середины, пролёт после середины и правая консоль. На консолях нагрузки нет, поэтому Q постоянна и равна грузу. Над опорами — скачки на величину реакций.

   В пролёте Q убывает линейно и в середине проходит через ноль — это следствие симметрии. Отмечаем эту точку: она даст пролётный максимум момента.

   $$Q_{\text{конс}} = -\,F; \qquad Q_{\text{прол}}(z) = -F + R_A - q\,(z - z_A)$$
   $$Q(4\ \text{м}) = 0\ \text{кН}; \qquad |Q|_{\max} = 24\ \text{кН}$$
   Q в середине пролёта

   0 кН

   Наибольшая Q

   24 кН

   В середине Q обращается в 0 кН, наибольшее по модулю значение 24 кН — сразу за опорами.

3. 3

   Момент: опорные пики и пролётная парабола

   Над каждой опорой момент считается по короткой стороне — по консоли: груз на своём вылете. Знак отрицательный, растянуты верхние волокна.

   В пролёте эпюра параболическая. Она стартует от отрицательного значения над левой опорой, поднимается, проходит через ноль, достигает максимума в середине и зеркально возвращается. Получается характерная «улыбка» с двумя опущенными краями.

   $$M_{\text{оп}} = -\,F\,c; \qquad M_{\text{сер}} = M_{\text{оп}} + \frac{q\,\text{пролёт}^{2}}{8}$$
   $$M(2\ \text{м}) = -20\ \text{кН·м}; \qquad M(4\ \text{м}) = 4\ \text{кН·м}$$
   Момент над опорой

   −20 кН·м

   Момент в середине

   4 кН·м

   Расчётный момент

   20 кН·м

   −20 кН·м над опорами и 4 кН·м в середине. Расчётным здесь выходит опорный момент: 20 кН·м по модулю против пролётного.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Балки», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §4.1.

• Делят пополам не всю нагрузку, а только распределённую

  В сумму входят и грузы на консолях: 12 кН/м на 4 м плюс два раза по 10 кН. Забыв консольные силы, получают заниженные реакции, и дальше разъезжается вся эпюра.

• Строят эпюру M целиком выше оси

  У балки со свесами обязательно есть отрицательные зоны — над опорами, где −20 кН·м. Эпюра, целиком лежащая по одну сторону от оси, для этой схемы невозможна.

• Ищут максимум момента, не проверив опорные значения

  Сравнивать надо модули пролётного 4 кН·м и опорного −20 кН·м. В этой схеме опорный больше, и расчётным становится он — 20 кН·м.

• Считают, что раз схема симметрична, то Q тоже симметрична

  Симметрична эпюра моментов. Эпюра поперечных сил кососимметрична: слева и справа от середины значения равны по модулю и противоположны по знаку, а в самой середине Q = 0 кН.