Двухопорная балка с двумя силами

1. 1

   Ось, участки, реакции

   Ось z ведём от левой опоры вправо, начало отсчёта — в опоре A. Характерные точки: 2 м и 4 м, где приложены грузы. Они разбивают балку на три участка, и на каждом выражения для Q и M будут своими — но координата всюду одна.

   Реакции ищем моментными уравнениями относительно опор. В сумму моментов входят оба груза, каждый со своим плечом; удобнее считать относительно правой опоры, тогда сразу находится R_A.

   $$\sum M_B = 0 \;\Rightarrow\; R_A\,l = F_1\,(l - z_1) + F_2\,(l - z_2)$$
   $$R_A = 10\ \text{кН}; \qquad R_B = 8\ \text{кН}; \qquad R_A + R_B = 12 + 6$$
   Реакция A

   10 кН

   Реакция B

   8 кН

   10 кН и 8 кН. Проверка на сумму сходится: вместе они дают ту же величину, что и оба груза, — балка ниоткуда не улетает.

2. 2

   Поперечная сила: три полки, два скачка

   Идём слева направо и накапливаем силы. На первом участке в сумме одна реакция. После первого груза из неё вычитается F₁, после второго — ещё и F₂. Между грузами нагрузки нет, поэтому внутри каждого участка Q постоянна.

   На последнем участке значение обязано совпасть с реакцией правой опоры, взятой со знаком минус. Это бесплатная проверка всего предыдущего: сошлось — значит, реакции и грузы учтены без потерь.

   $$Q_1 = R_A; \qquad Q_2 = R_A - F_1; \qquad Q_3 = R_A - F_1 - F_2$$
   $$Q_1 = 10\ \text{кН}; \qquad Q_2 = -2\ \text{кН}; \qquad Q_3 = -8\ \text{кН}$$
   Q на участке 1

   10 кН

   Q на участке 2

   −2 кН

   Q на участке 3

   −8 кН

   Ступени 10 кН, −2 кН, −8 кН. Знак меняется под первым грузом — там и будет вершина момента.

3. 3

   Момент в характерных точках

   На каждом участке эпюра M прямолинейна, поэтому считать её во всех точках не нужно — достаточно значений на границах, а между ними провести прямые. Границ здесь четыре: две опоры, где момент нулевой, и два груза.

   Значения под грузами считаем по короткой стороне: под первым — по левой части, где всего одно слагаемое, под вторым — по правой, где тоже одно. Так вычислений вдвое меньше, чем при обходе с одной стороны, а ответ тот же.

   $$M(z_1) = R_A\,z_1; \qquad M(z_2) = R_B\,(l - z_2)$$
   $$M(2\ \text{м}) = 10 \cdot 2 = 20\ \text{кН·м}; \qquad M(4\ \text{м}) = 8 \cdot 2 = 16\ \text{кН·м}$$
   M под F₁

   20 кН·м

   M под F₂

   16 кН·м

   Расчётный момент

   20 кН·м

   20 кН·м под первым грузом и 16 кН·м под вторым. Расчётный момент — больший из них, 20 кН·м, в сечении z = 2 м.

4. 4

   Проверка площадью эпюры Q

   Есть способ проверить эпюру моментов, не пересчитывая её: приращение M на участке равно площади эпюры Q под этим участком. Площадь первой полки — это её высота на длину участка, и она обязана дать как раз момент под первым грузом.

   Пройдите так по всем трём участкам: сумма площадей от левой опоры до правой должна вернуть эпюру в ноль. Если не возвращает — ошибка именно в эпюре Q, а не в моментах.

   $$M(z_2) - M(z_1) = \omega_Q$$
   $$16\ \text{кН·м} - 20\ \text{кН·м} = -2 \cdot 2$$

   Разница моментов под грузами равна площади средней полки — эпюры согласованы между собой.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Балки», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §4.1.

• Обходятся двумя участками вместо трёх

  Каждая сила даёт свою границу, значит участков ровно три. С двумя участками средняя полка −2 кН исчезает, и эпюра моментов получает неверный наклон между грузами.

• Считают момент под вторым грузом по левой части

  Можно и так, но слагаемых будет три вместо одного, и ошибиться проще. Справа от 4 м лежит только реакция B — отсюда 16 кН·м одним умножением.

• Берут максимумом последнюю посчитанную вершину

  Вершин две, и расчётной становится большая по модулю: 20 кН·м против 16 кН·м. Порядок вычисления к делу не относится — сравнить нужно обе.

• Не проверяют закрытие эпюры Q

  На третьем участке Q обязана равняться реакции правой опоры со знаком минус: −8 кН. Проверка стоит десяти секунд и ловит почти любую потерянную силу.