Как найти реакции и эпюру моментов П-образной рамы

1. 1

   Оси, опоры и подсчёт связей

   Оси глобальные: ось x горизонтально вправо, ось y вертикально вверх, начало отсчёта в левой опоре. Местная координата z у ригеля идёт слева направо, у стоек — снизу вверх; в этих обозначениях всё и посчитаем.

   Шарнирно-неподвижная опора даёт две связи, подвижная одну — итого три при трёх уравнениях равновесия. Система статически определима.

   $$n_{\text{связей}} = 2 + 1 = 3 = n_{\text{уравнений}}$$
   $$\sum X = 0 \;\Rightarrow\; R_{Ax} = 0{,}00\ \text{кН}$$
   Горизонтальная реакция

   0,00 кН

   Горизонтальная реакция 0,00 кН: горизонтальных нагрузок на раме нет, и уравнение проекций на ось x закрывается само.

2. 2

   Вертикальные реакции

   Нагрузка симметрична относительно середины пролёта, и опоры расставлены симметрично — значит реакции равны. Но проверим уравнением моментов, а не на глаз: симметрия обманчива, стоит нагрузке чуть сдвинуться.

   Уравнение моментов относительно правой опоры даёт левую реакцию, уравнение проекций на вертикаль — правую.

   $$\sum M_D = 0: \quad R_{Ay} l - q l \cdot \frac{l}{2} = 0 \;\Rightarrow\; R_{Ay} = \frac{q l}{2}$$
   $$R_{Ay} = \frac{12 \cdot 6}{2} = 36{,}00\ \text{кН}; \qquad R_{Dy} = 36{,}00\ \text{кН}$$
   Реакция левой опоры

   36,00 кН

   Реакция правой опоры

   36,00 кН

   Обе реакции по 36,00 кН: вместе они держат всю нагрузку. Каждая стойка передаёт в фундамент половину.

3. 3

   Стойки: почему в них нет момента

   Пройдём стойку снизу вверх. В опоре момента нет — шарнир. Горизонтальных сил на стойке нет тоже, и горизонтальная реакция нулевая. Значит поперечная сила по всей высоте равна нулю, а момент не с чего накапливаться.

   К узлу мы подходим с нулевым моментом. Единственное, что стойка передаёт вверх, — продольное сжатие от реакции опоры.

   $$Q_{\text{стойка}} = 0 \;\Rightarrow\; M_{\text{стойка}} \equiv 0; \qquad N = -R_{Ay}$$
   $$M_{\text{узел}} = 0{,}00\ \text{кН·м}; \qquad N_{\text{стойка}} = -36{,}00\ \text{кН}$$
   Момент в стойке

   0,00 кН·м

   Сжатие стойки

   −36,00 кН

   Момент в стойках 0,00 кН·м, продольная сила −36,00 кН — чистое сжатие. Эпюра M на стойках пустая.

4. 4

   Ригель работает как балка на двух опорах

   На концах ригеля моменты нулевые — стойки их не приносят. Внутри лежит равномерная нагрузка. Это в точности расчётная схема балки на двух шарнирных опорах, и результат тот же самый.

   Момент растёт по параболе от нуля на краях до максимума в середине. Поперечная сила меняется линейно и в середине проходит через ноль — там и экстремум.

   $$M(z) = \frac{q l z}{2} - \frac{q z^{2}}{2}; \qquad M_{max} = \frac{q l^{2}}{8}$$
   $$M_{max} = \frac{12 \cdot 6^{2}}{8} = 54\ \text{кН·м} = 54{,}00\ \text{кН·м}$$
   Момент в середине

   54,00 кН·м

   Поперечная сила на опоре

   36,00 кН

   В середине пролёта 54,00 кН·м — совпало со справочным 54 кН·м для балки. Поперечная сила на опоре 36,00 кН.

5. 5

   Опасное сечение и проверка узлов

   Наибольший момент 54,00 кН·м — в середине ригеля, на расстоянии 3,00 м от левого узла. Стойки в подборе сечения по изгибу вообще не участвуют, их проверяют на сжатие и устойчивость.

   Проверка узла здесь тривиальна и оттого показательна: с ригеля приходит нулевой момент, со стойки нулевой, внешнего нет — равновесие соблюдено.

   $$\sum M_{\text{узла}} = 0: \quad 0 + 0 = 0$$
   $$M_{max} = 54{,}00\ \text{кН·м}\ \text{при}\ z = 3{,}00\ \text{м}$$
   Расчётный момент

   54,00 кН·м

   Координата опасного сечения

   3,00 м

   Опасное сечение — середина ригеля, 54,00 кН·м. Узлы в равновесии, эпюры сходятся.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Статически определимые рамы», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Дарков А. В. Строительная механика, гл. 3.

• Дорисовывают в стойках момент по аналогии с Г-образной рамой

  Там момент приносил ригель с консоли, здесь приносить нечего: на концах ригеля моменты нулевые. Эпюра M на стойках пустая — 0,00 кН·м.

• Забывают, что подвижная опора даёт только одну связь

  Иначе связей получается четыре и рама кажется неопределимой. Здесь их ровно три, и 0,00 кН обращается в ноль не по симметрии, а потому что горизонтальных нагрузок нет.

• Берут реакции равными, не проверяя уравнением

  В этой схеме равенство верно, но держится оно на симметрии нагрузки. Сдвиньте нагрузку хоть на метр — и 36,00 кН с 36,00 кН разойдутся. Уравнение моментов пишется в одну строку, привычка полезнее удачи.

• Учитывают в стойках изгиб при подборе сечения

  Стойки здесь сжаты силой −36,00 кН и не изогнуты вовсе. Их проверяют на устойчивость, а сечение по моменту подбирают только для ригеля — по 54,00 кН·м.