Радиус инерции составного сечения

1. 1

   Оси и площадь пары

   Ось y ведём горизонтально, ось z вертикально, начало отсчёта — в центре тяжести сечения. Уголки зеркальны относительно вертикальной оси и стоят на одной высоте, поэтому обе оси главные центральные, а 0,00 мм и 0,00 мм нулевые.

   Площадь пары 1450 мм² — просто удвоенная площадь уголка 725 мм². Дальше нам понадобятся оба момента инерции: относительно горизонтальной оси, проходящей через центры тяжести обоих уголков, и относительно вертикальной, от которой они разнесены.

   $$F = 2 F_1, \qquad y_c = z_c = 0$$
   $$F = 2 \cdot 725 = 1450\ \text{мм²}$$
   Площадь пары

   1450 мм²

   Момент инерции I_y

   796600 мм⁴

   Площадь 1450 мм², центр тяжести на оси симметрии. Моменты инерции: 796600 мм⁴ относительно горизонтальной оси и 1411922 мм⁴ относительно вертикальной.

2. 2

   Радиусы инерции по обеим осям

   Радиус инерции считается по каждой оси отдельно: корень из момента инерции относительно этой оси, делённого на всю площадь. Площадь одна и та же, значит радиусы относятся как корни из моментов инерции.

   Обратите внимание на порядок величин. Моменты инерции различаются почти вдвое, а радиусы — только в 1,331: корень сглаживает разницу. Поэтому по радиусам сечения сравнивать удобнее, чем по моментам инерции: числа сопоставимы.

   $$i_y = \sqrt{\frac{I_y}{F}}, \qquad i_z = \sqrt{\frac{I_z}{F}}$$
   $$i_y = \sqrt{\frac{796600}{1450}} = 23{,}44\ \text{мм}, \qquad i_z = \sqrt{\frac{1411922}{1450}} = 31{,}20\ \text{мм}$$
   Радиус i_y

   23,44 мм

   Радиус i_z

   31,20 мм

   Меньший радиус

   23,44 мм

   23,44 мм по горизонтальной оси и 31,20 мм по вертикальной. Расчётным будет меньший: 23,44 мм.

3. 3

   Гибкость: ради чего всё считалось

   Гибкость — это длина стержня, делённая на радиус инерции. Для стержня длиной 3000 мм считаем её по обеим осям и сравниваем с предельной 150.

   Вокруг вертикальной оси гибкость 96,1 — с запасом. Вокруг горизонтальной 128,0 — уже близко к пределу. Расчётной берётся большая, то есть та, что посчитана по МЕНЬШЕМУ радиусу 23,44 мм. Именно она определит и коэффициент продольного изгиба, и допускаемое напряжение.

   $$\lambda = \frac{\mu l}{i_{min}} \le [\lambda]$$
   $$\lambda_y = \frac{3000}{23{,}44} = 128{,}0, \qquad \lambda_z = \frac{3000}{31{,}20} = 96{,}1$$
   Гибкость по слабой оси

   128,0

   Гибкость по сильной оси

   96,1

   Расчётная гибкость 128,0 при пределе 150. Проходит, но резерва почти нет: удлините стержень на четверть — и сечение придётся менять.

4. 4

   Сравнение с компактным сечением

   Чтобы почувствовать, что радиус инерции измеряет именно распределение металла, а не его количество, возьмём круг той же площади 1450 мм². Диаметр выйдет 43,0 мм, а радиус инерции круга — четверть диаметра.

   У круга получается 10,74 мм против 23,44 мм у пары уголков: вдвое хуже при той же площади и той же массе погонного метра. Гибкость круглого стержня той же длины оказалась бы за двести — далеко за пределом 150.

   $$i_{\text{круга}} = \frac{d}{4}, \qquad d = \sqrt{\frac{4F}{\pi}}$$
   $$d = \sqrt{\frac{4 \cdot 1450}{\pi}} = 43{,}0\ \text{мм}, \qquad i = \frac{43{,}0}{4} = 10{,}74\ \text{мм}$$
   Радиус инерции круга

   10,74 мм

   Тот же металл, вдвое меньший радиус инерции. Сплошное сечение для сжатого стержня — почти всегда проигрыш.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Сечения», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: СП 16.13330 «Стальные конструкции», разд. 7; Качурин В. К. Сборник задач, разд. «Геометрические характеристики».

• Берут больший радиус инерции

  Расчётный — меньший, 23,44 мм, а не 31,20 мм. Стержень выпучится вокруг слабой оси; взяв 31,20 мм, вы получите гибкость 96,1 вместо истинной 128,0 и сечение, которое на деле не проходит.

• Считают радиус инерции пары как сумму радиусов уголков

  Радиусы не складываются — складываются моменты инерции и площади, а радиус считается уже от их отношения. У пары 23,44 мм, у одиночного уголка он был бы другим.

• Путают размерности в гибкости

  Радиус инерции сортамент даёт в миллиметрах, длину стержня чаще пишут в метрах. Приводить надо к одним единицам: 3000 мм на 23,44 мм даёт 128,0, а не в тысячу раз меньше.

• Сравнивают сечения по моменту инерции при разной площади

  Момент инерции растёт с площадью, поэтому сравнение бессмысленно. Радиус инерции площадь уже учёл: 23,44 мм у пары уголков против 10,74 мм у круга той же площади — вот это сравнение честное.