Почему момент инерции прямоугольника считают как bh³/12

1. 1

   Оси: какая из них какая

   Начало координат — в центре тяжести прямоугольника, то есть на пересечении его диагоналей. Ось y направим горизонтально, вдоль ширины, ось z — вертикально. Это соглашение важно удержать: перепутанные оси — главная причина неверных ответов в этой теме.

   Запомнить проще всего так: в формуле для I_y в кубе стоит РАЗМЕР ПОПЕРЁК оси y, то есть высота. Ось лежит горизонтально, материал разнесён от неё по вертикали — значит, высота и должна работать сильнее.

   $$F = b\,h; \qquad y_c = \frac{b}{2}, \quad z_c = \frac{h}{2}$$
   $$F = 60 \cdot 100 = 6000\ \text{мм²}$$
   Площадь

   6000 мм²

   Центр по ширине

   30 мм

   Центр по высоте

   50 мм

   Площадь 6000 мм², центр тяжести в точке (30 мм; 50 мм) от левого нижнего угла.

2. 2

   Два момента инерции

   Интегрирование даёт знаменатель 12 и куб того размера, который отложен перпендикулярно оси. Относительно горизонтальной оси y в кубе высота, относительно вертикальной z — ширина.

   Куб здесь важнее коэффициента: увеличив высоту вдвое, момент инерции поднимаем в восемь раз, а площадь всего вдвое. Отсюда и происходит весь смысл двутавра — вытянуть сечение по высоте и убрать лишнее из середины.

   $$I_y = \frac{b\,h^{3}}{12}; \qquad I_z = \frac{h\,b^{3}}{12}$$
   $$I_y = \frac{60 \cdot 100^{3}}{12} = 5000000\ \text{мм⁴}; \qquad I_z = \frac{100 \cdot 60^{3}}{12} = 1800000\ \text{мм⁴}$$
   Относительно горизонтальной оси

   5000000 мм⁴

   Относительно вертикальной

   1800000 мм⁴

   Во сколько раз выгоднее на ребро

   2,78

   5000000 мм⁴ против 1800000 мм⁴ — отношение 2,78. Ровно во столько раз жёстче доска, поставленная на ребро; и это отношение равно квадрату отношения сторон.

3. 3

   Моменты сопротивления

   Делим каждый момент инерции на расстояние до крайнего волокна по своей оси: I_y на половину высоты, I_z на половину ширины. Знаменатель 12 при этом превращается в 6, и формулы становятся совсем короткими.

   Именно W идёт в проверку прочности. Балку с прямоугольным сечением почти всегда ставят так, чтобы работал больший момент сопротивления, — то есть высотой в плоскости изгиба.

   $$W_y = \frac{b\,h^{2}}{6}; \qquad W_z = \frac{h\,b^{2}}{6}$$
   $$W_y = \frac{60 \cdot 100^{2}}{6} = 100000\ \text{мм³}; \qquad W_z = 60000\ \text{мм³}$$
   W относительно y

   100000 мм³

   W относительно z

   60000 мм³

   100000 мм³ и 60000 мм³. Разница уже не в 2,78 раза, а меньше: у моментов сопротивления степень на единицу ниже.

4. 4

   Радиусы инерции

   Радиус инерции показывает, насколько далеко от оси «эффективно» разнесён материал. У прямоугольника он равен размеру, делённому на корень из двенадцати, то есть примерно 0,289 от стороны.

   Меньший из двух радиусов определяет устойчивость сжатой стойки: выгибаться она начнёт именно в слабой плоскости. Поэтому в расчёт на продольный изгиб берут i_z, а не i_y.

   $$i_y = \frac{h}{\sqrt{12}}; \qquad i_z = \frac{b}{\sqrt{12}}$$
   $$i_y = 28{,}9\ \text{мм}; \qquad i_z = 17{,}3\ \text{мм}$$
   Радиус инерции по y

   28,9 мм

   Радиус инерции по z

   17,3 мм

   28,9 мм и 17,3 мм. В расчёте на устойчивость участвует меньший, 17,3 мм — стойка потеряет форму, изгибаясь в сторону узкой грани.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Сечения», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §3.2.

• Ставят в куб не тот размер

  Самая частая ошибка темы. В I_y кубом идёт высота: 5000000 мм⁴. Поменяв местами b и h, получают 1800000 мм⁴ — тоже правдоподобное число, поэтому ошибка живёт до конца задачи.

• Берут знаменатель 12 для момента сопротивления

  У момента инерции двенадцать, у момента сопротивления шесть: одно деление на половину высоты уже произошло. С двенадцатью 100000 мм³ получится вдвое меньше настоящего.

• Считают радиус инерции как половину стороны

  Он равен стороне, делённой на корень из двенадцати, — примерно 0,289 стороны, то есть 28,9 мм для высоты. Половина была бы больше почти вдвое.

• Применяют bh³/12 к нецентральной оси

  Формула выведена для оси, проходящей через центр тяжести. Относительно основания момент инерции втрое больше — bh³/3, и это получается уже по теореме Штейнера.