Брус длиннее проёма: усилие после сборки

1. 1

   Что происходит при сборке

   Начало отсчёта — нижняя заделка, ось z ведём вверх, как на схеме. Брус длиннее проёма на δ: чтобы его поставить, его сжимают ровно на эту величину и отпускают между заделками. Распрямиться ему не дают — сила остаётся.

   Внешней нагрузки нет, реакции равны и противоположны, и продольная сила одна по всей длине. Её величину даёт не статика, а условие на деформацию.

   $$R_{\text{в}} = R_{\text{н}} = R, \qquad N_1 = N_2 = N$$
   $$N(z) = N = \text{const}$$

   Неизвестна одна величина — сила N. Нужно одно уравнение совместности.

2. 2

   Уравнение совместности

   После сборки длина бруса равна длине проёма, то есть брус укоротился ровно на δ. Это укорочение — упругое, от силы N, сумма по двум ступеням.

   Податливости ступеней те же, что в разборе с нагревом: 10 мкм/кН у нижней и 20 мкм/кН у верхней, вместе 30 мкм/кН. Верхняя, тонкая, вдвое податливее — и сожмётся вдвое сильнее.

   $$N\left(\frac{L_1}{E A_1} + \frac{L_2}{E A_2}\right) = -\delta \;\;\Rightarrow\;\; N = -\frac{\delta}{\sum L_i/(E A_i)}$$
   $$N = -\frac{0{,}6}{30\cdot10^{-3}} = -20{,}00\ \text{кН}$$
   Монтажное усилие

   −20,00 кН

   Реакция заделки

   20,00 кН

   Монтажное усилие −20,00 кН: брус сжат, каждая заделка давит на него с силой 20,00 кН.

3. 3

   Напряжения и прочность

   Сила одна, площади разные. Тонкая ступень снова опаснее — так всегда, когда усилие в брусе постоянно по длине.

   Призматический брус той же длины при том же зазоре получил бы 54,5 МПа: σ = Eδ/L. Здесь длина уже стоит в формуле, и чем длиннее брус, тем меньше значит тот же зазор, — в отличие от нагрева.

   $$\sigma_i = \frac{N}{A_i}; \qquad |\sigma|_{\max} \le [\sigma]$$
   $$\sigma_1 = -40{,}0\ \text{МПа}; \qquad \sigma_2 = -66{,}7\ \text{МПа}; \qquad 66{,}7\ \text{МПа} \le 160\ \text{МПа}$$
   σ нижней ступени

   −40,0 МПа

   σ верхней ступени

   −66,7 МПа

   Запас

   58,3 %

   Прочность обеспечена, запас 58,3 %.

4. 4

   Проверка по перемещениям

   Упругие укорочения ступеней −0,200 мм и −0,400 мм в сумме должны дать минус δ. На эпюре δ под разбором верхний торец показывает именно это — −0,60 мм.

   Сошлось — значит, сила найдена верно. Это же условие пригодится, если к зазору добавить нагрев: слагаемые просто складываются.

   $$\Delta l_1 + \Delta l_2 = -\delta$$
   $$-0{,}200 + (-0{,}400) = -0{,}60\ \text{мм}$$
   Упругое перемещение верхнего торца

   −0,60 мм

   Сумма укорочений равна зазору со знаком минус — решение верно.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Растяжение-сжатие», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Лобанов Е. Н. и др. Сопротивление материалов, с. 45.

• Считают, что маленький зазор ничего не даёт

  Сталь жёсткая: зазор 0,6 мм на брусе длиной 2,2 м дал 66,7 МПа. Это уже заметная доля допускаемого.

• Путают знак зазора

  Брус длиннее проёма — он сжат, N = −20,00 кН. Короче проёма — растянут. В калькуляторе зазор задаётся со знаком.

• Делят зазор между ступенями поровну

  Ступени сжимаются пропорционально податливостям: −0,200 мм и −0,400 мм, одна вдвое больше другой.