Двутавр с приваренным листом

1. 1

   Ось отсчёта и площади

   Начало отсчёта ставим в центр тяжести самого двутавра, ось z ведём вверх. Такой выбор удобнее, чем нижняя грань: характеристики профиля в сортаменте даны относительно его собственных осей, и переносить их пока не придётся.

   Двутавр высотой 200 мм, значит верх полки на 100 мм выше начала отсчёта, а центр листа толщиной 10 мм — ещё на половину толщины выше, то есть на 105 мм.

   $$F = F_{\text{дв}} + F_{\text{л}}, \qquad F_{\text{л}} = b\,t$$
   $$F_{\text{л}} = 200 \cdot 10 = 2000\ \text{мм²}; \qquad F = 2716\ \text{мм²} + 2000\ \text{мм²} = 4716\ \text{мм²}$$
   Площадь листа

   2000 мм²

   Площадь сечения

   4716 мм²

   Лист добавляет 2000 мм² к 2716 мм² — итого 4716 мм². По массе сечение потяжелело в 1,74 раза.

2. 2

   Куда уехал центр тяжести

   Пока двутавр был один, центр тяжести совпадал с началом отсчёта. Лист лежит сверху, значит центр тяжести поднимется — тем сильнее, чем больше площадь листа относительно площади профиля.

   Считаем через статический момент относительно исходной оси. Вклад двутавра нулевой: его центр тяжести лежит прямо на ней.

   $$z_c = \frac{F_{\text{л}} z_{\text{л}}}{F}$$
   $$z_c = \frac{2000 \cdot 105}{4716} = 44{,}53\ \text{мм}$$
   Статический момент

   210000 мм³

   Смещение центра тяжести

   44,53 мм

   Центр тяжести поднялся на 44,53 мм относительно центра двутавра. Теперь до верха сечения 60,47 мм с небольшим, а до низа заметно больше — сечение стало несимметричным.

3. 3

   Плечи и момент инерции

   Оба элемента теперь отодвинуты от новой центральной оси: двутавр вниз на 44,53 мм, лист вверх на 60,47 мм. Значит переносить надо оба, включая сам профиль, чего в этой задаче обычно и не делают.

   Собственный момент инерции листа крошечный — 16667 мм⁴: он плоский, и bh³/12 при высоте 10 мм почти ничего не даёт. Всю работу лист выполняет за счёт плеча, а не за счёт собственной жёсткости.

   $$I_y = \left(I_{\text{дв}} + a_{\text{дв}}^{2} F_{\text{дв}}\right) + \left(I_{\text{л}} + a_{\text{л}}^{2} F_{\text{л}}\right)$$
   $$I_y = \left(18442600\ \text{мм⁴} + 44{,}53\ \text{мм}^{2} \cdot 2716\ \text{мм²}\right) + \left(16667\ \text{мм⁴} + 60{,}47\ \text{мм}^{2} \cdot 2000\ \text{мм²}\right) = 31158122\ \text{мм⁴}$$
   Момент инерции

   31158122 мм⁴

   Во сколько раз вырос I

   1,69

   31158122 мм⁴ против 18442600 мм⁴ у голого двутавра — рост в 1,69 раза при увеличении площади всего в 1,74 раза. Вот ради чего лист и приваривают.

4. 4

   Вторая ось: лист работает иначе

   Относительно вертикальной оси переносить нечего — оба элемента симметричны относительно неё. Зато здесь лист даёт неожиданно много: он широкий, а в формулу входит ширина в кубе.

   Собственный момент инерции листа относительно вертикальной оси 6666667 мм⁴ — в несколько раз больше, чем у самого двутавра 1339100 мм⁴. Приваренный лист заодно резко повышает устойчивость балки из плоскости изгиба.

   $$I_z = I_{z,\text{дв}} + I_{z,\text{л}}$$
   $$I_z = 1339100\ \text{мм⁴} + 6666667\ \text{мм⁴} = 8005767\ \text{мм⁴}$$
   Момент инерции относительно z

   8005767 мм⁴

   8005767 мм⁴ — почти всё это заслуга листа.

5. 5

   Момент сопротивления: что пойдёт в проверку прочности

   Сечение несимметрично по высоте, поэтому расстояния до верхнего и нижнего волокна разные, и моментов сопротивления получается два. В запас берут меньший — тот, что соответствует дальнему волокну.

   Здесь дальше от центра тяжести оказалось нижнее волокно, и именно оно ограничивает несущую способность. Обратите внимание: момент сопротивления вырос слабее, чем момент инерции, — потому что вместе с I увеличилось и расстояние в знаменателе.

   $$W = \frac{I_y}{z_{max}}, \qquad i = \sqrt{\frac{I_y}{F}}$$
   $$W = 215583\ \text{мм³}; \qquad i = \sqrt{\frac{31158122}{4716}} = 81{,}28\ \text{мм}$$
   Момент сопротивления

   215583 мм³

   Радиус инерции

   81,28 мм

   Момент сопротивления 215583 мм³, радиус инерции 81,28 мм. В проверку прочности σ = M/W идёт именно 215583 мм³.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Сечения», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §4.5.

• Оставляют момент инерции двутавра без переноса

  После приварки листа центр тяжести уехал на 44,53 мм, и двутавр тоже оказался от новой оси на расстоянии 44,53 мм. Его табличный 18442600 мм⁴ обязан получить своё переносное слагаемое — иначе потеряется заметная часть жёсткости.

• Считают момент сопротивления по половине высоты

  Половина высоты годится только для симметричного сечения. Здесь нейтральная ось сдвинута, верх и низ неравноправны, и W берётся по большему расстоянию.

• Ставят центр листа на уровень верхней полки

  Центр листа — на 105 мм, то есть на половину толщины выше грани полки. Ошибка небольшая по величине, но в квадрате плеча она удваивается.

• Ждут, что прочность вырастет так же, как жёсткость

  Момент инерции вырос в 1,69 раза, а момент сопротивления — меньше: знаменатель тоже увеличился. Судить об усилении по одному лишь I значит переоценить эффект.