Теорема Штейнера простыми словами
Момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно параллельной ей ЦЕНТРАЛЬНОЙ оси плюс произведение площади на квадрат расстояния между осями. Слагаемое a²F всегда положительно — поэтому центральная ось даёт наименьший момент инерции из всех параллельных.
Табличные формулы моментов инерции написаны для собственных центральных осей фигуры. А в составном сечении общая ось проходит не через центр каждой части, и напрямую складывать табличные значения нельзя.
Теорема Штейнера — это мост между «своей» осью части и общей осью сечения. Без него составное сечение не посчитать, и именно этот шаг чаще всего пропускают.
Откуда берётся слагаемое a²F
Возьмите площадку на расстоянии z от центральной оси части. До общей оси, отстоящей на a, расстояние станет z + a. Возводим в квадрат: z² + 2az + a². Первое слагаемое даёт собственный момент инерции, третье — a² на площадь.
Среднее слагаемое исчезает: сумма произведений площадок на их расстояние до ЦЕНТРАЛЬНОЙ оси есть статический момент, а он относительно центральной оси равен нулю по определению центра тяжести. Именно поэтому теорема так проста — и именно поэтому она работает только при переносе С центральной оси.
Порядок расчёта составного сечения
Сначала — координата центра тяжести всего сечения. Без неё неизвестно, куда переносить: расстояния a отсчитываются именно до общей центральной оси, а не до края и не до оси одной из частей.
Потом для каждой части берут табличный собственный момент инерции, считают её расстояние до общей оси и складывают собственный момент с a²F. Суммы по всем частям и дают момент инерции сечения.
Вырезы (отверстия, пазы) учитываются с минусом — и площадь, и собственный момент, и переносное слагаемое. Логика та же, что с центром тяжести: вырез это отрицательная площадь.
Насколько велик вклад переноса
Обычно он больше собственного момента, и намного. В примере ниже собственные моменты частей — 853333 мм⁴ и 66667 мм⁴, а переносные вклады 2087901 мм⁴ и 1054321 мм⁴. Забыв теорему, вы получили бы 920000 мм⁴ вместо 3142222 мм⁴.
Это и объясняет, почему двутавр эффективен: почти весь его момент инерции — переносное слагаемое полок, а не их собственная жёсткость. Полки тонкие, их собственный вклад мизерный, но они далеко от оси.
На числах
Сечение из двух прямоугольников: собственные моменты частей малы, а всё решают расстояния до общей оси.
Где обычно ошибаются
Складывают табличные моменты частей без переноса
Самая частая ошибка раздела. Здесь так вышло бы 920000 мм⁴ вместо 3142222 мм⁴ — заниженное значение, и профиль получится недостаточным.
Отсчитывают расстояние a не от общей центральной оси
От края сечения, от оси одной из частей, от низа — все эти варианты дают разные и неверные a. Сначала центр тяжести всего сечения, потом расстояния.
Применяют теорему к переносу между двумя нецентральными осями
В таком виде она неверна: средний член пропадает только при переносе С центральной оси. Между двумя произвольными осями переносят в два приёма — сначала к центральной, потом от неё.
Учитывают вырез с плюсом
Отверстие уменьшает и площадь, и момент инерции. Все три слагаемых для выреза берут со знаком минус, иначе сечение окажется жёстче сплошного.
Частые вопросы
Работает ли теорема для центробежного момента инерции?
Да, в похожем виде: центробежный момент части относительно её собственных осей плюс произведение обоих расстояний на площадь. Отличие в том, что здесь произведение расстояний, а не квадрат, и оно может быть отрицательным.
Почему центральная ось даёт минимальный момент инерции?
Потому что слагаемое a²F неотрицательно всегда: и площадь, и квадрат расстояния положительны. Любой сдвиг оси может только увеличить момент инерции.
Нужна ли теорема, если сечение симметрично?
Нужна, если оно СОСТАВНОЕ. Симметрия избавляет от поиска центра тяжести (он на оси симметрии), но части всё равно удалены от общей оси, и переносить их момент инерции придётся.
Сечение из двух швеллеров →