Интеграл Мора
Интеграл Мора даёт перемещение в точке: в неё прикладывают единичную силу, строят от неё эпюру моментов и перемножают её с грузовой, деля на жёсткость. Практически интеграл почти всегда считают способом Верещагина — через площадь одной эпюры и ординату другой.
Справочная формула прогиба есть не для всякой схемы: таблицы покрывают десяток типовых случаев, а в задании стоит одиннадцатый. Интеграл Мора отвечает на вопрос для ЛЮБОЙ схемы и в любой точке — и потому в курсе он идёт как основной способ, а таблицы как частные случаи.
Идея в приёме, который сначала выглядит фокусом: чтобы найти перемещение, к балке прикладывают силу, которой в задаче нет. Единичная сила не добавляет нагрузки — она лишь спрашивает у конструкции, насколько та подастся именно в этом направлении.
Отсюда и универсальность: спросить можно про что угодно. Единичная СИЛА даёт линейное перемещение, единичный МОМЕНТ — угол поворота сечения, а приложить их можно в любой точке, хоть там, где никакой нагрузки нет.
Два состояния: грузовое и единичное
Работа идёт с двумя картинами одной и той же системы. Грузовое состояние — это балка под настоящей нагрузкой, с её эпюрой моментов. Единичное — та же балка, но с одной безразмерной силой в интересующей точке, и со своей эпюрой.
Перемножаются они почленно по всей длине, и результат делится на жёсткость. Физически это работа единичной силы на настоящем перемещении — отсюда и размерность ответа: сила безразмерна, значит остаётся чистое перемещение.
Правило выбора единичного воздействия простое: ищете прогиб — ставьте силу, ищете угол поворота — момент. Направление берите любое; если ответ выйдет отрицательным, перемещение просто идёт в другую сторону.
Интеграл почти никогда не берут интегралом
Записывать подынтегральную функцию по участкам и честно интегрировать приходится редко. Если хотя бы одна из эпюр прямолинейна — а единичная почти всегда прямолинейна, — интеграл заменяется умножением: площадь одной эпюры на ординату другой под её центром тяжести. Это и есть способ Верещагина.
Порядок при этом не произволен: ордината берётся с ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ эпюры. Площадь можно брать с любой, а вот ординату под центром тяжести — только с прямой, иначе замена интеграла неверна.
В примере рядом грузовая эпюра даёт площадь −180,00 кН·м², ордината единичной под её центром тяжести — 5,00 кН·м, и произведение закрывает коэффициент −900,000. Криволинейный участок разбивают на простые фигуры либо считают формулой Симпсона.
Тот же интеграл раскрывает неопределимость
Метод сил построен на этом же интеграле, и это не совпадение. Коэффициенты канонических уравнений — перемещения: главный коэффициент получается перемножением единичной эпюры самой на себя, грузовой — единичной на грузовую.
В примере это 72,000 и −900,000, а из их отношения выходит неизвестное усилие 12,500 кН. То есть, научившись считать прогиб интегралом Мора, вы уже умеете раскрывать статическую неопределимость — остаётся записать уравнение.
Практическое следствие: ошибка в перемножении эпюр одинаково портит и прогиб, и раскрытие. Проверять её удобнее на прогибе, где ответ можно сверить со справочной формулой.
Три разных «Мора», которые путают
Фамилия одна, предметы разные, и путаница стоит времени на экзамене. Интеграл Мора — про перемещения: прогибы и углы поворота. Круг Мора — про напряжённое состояние: графический способ найти главные напряжения в точке.
Теория Мора — третье: критерий прочности для хрупких материалов, у которых допускаемые напряжения на растяжение и сжатие разные. С перемещениями она не связана вовсе.
Общее у них только автор. Если в задании сказано «по Мору» без уточнения, смотрите на раздел: перемещения — интеграл, напряжения в точке — круг, проверка чугуна — теория.
На числах
Балка с заделкой и опорой: перемножение эпюр даёт коэффициенты 72,000 и −900,000, из них — лишнее усилие 12,500 кН.
Где обычно ошибаются
Берут ординату с криволинейной эпюры
Замена интеграла произведением верна, только если ордината снята с ПРЯМОЙ эпюры. С параболы её брать нельзя: площадь −180,00 кН·м² можно взять с любой, а ординату 5,00 кН·м — только с прямолинейной.
Прикладывают единичную силу не туда, где ищут перемещение
Единичная сила — это вопрос «насколько подастся ВОТ ЭТА точка в ВОТ ЭТОМ направлении». Поставив её в другом месте, вы получите верное число, но про другую точку.
Ищут угол поворота единичной силой
Силе отвечает линейное перемещение, моменту — угловое. Чтобы получить угол, прикладывают единичный МОМЕНТ; иначе ответ выйдет в миллиметрах там, где ждали радианы.
Теряют знак на участках с разными знаками эпюр
Произведение площади на ординату берётся со знаком: обе эпюры по одну сторону оси — плюс, по разные — минус. Здесь −900,000 вышел отрицательным именно поэтому, и это не ошибка.
Забывают жёсткость или делят не на ту
Результат перемножения — это ещё не перемещение: его делят на EI. Если по длине жёсткость меняется, участки делятся каждый на свою, и выносить EI за скобку нельзя.
Частые вопросы
Чем интеграл Мора отличается от способа Верещагина?
Это не альтернативы: Верещагин — способ ВЗЯТЬ интеграл Мора, когда одна из эпюр прямолинейна. Интеграл — общая запись, Верещагин — быстрый приём для обычного случая.
Способ Верещагина: какую эпюру брать площадью →Учитывать ли поперечные силы и продольные?
В учебных задачах на изгиб — нет: вклад изгибающих моментов на порядок больше. Полная запись интеграла содержит и слагаемое от Q, и от N; их оставляют для ферм, где изгиба нет вовсе, и для коротких балок.
Что означает отрицательное перемещение?
Только то, что оно идёт против выбранного направления единичной силы. Ответ верен, переделывать ничего не нужно — достаточно сказать в выводе, куда именно смещается сечение.
Можно ли проверить ответ?
Да, и это стоит делать. Для типовой схемы результат сверяют со справочной формулой прогиба; для нетиповой — считают то же перемещение через другую основную систему: она даёт другие эпюры, а перемещение обязано получиться тем же.
Метод начальных параметров →