Перемножение эпюр: пример на раме

1. 1

   Основная система и две эпюры

   Ось z у каждого стержня своя и объявляется сразу: у стойки идёт снизу вверх от заделки, у ригеля — от узла вправо к опоре. Начало отсчёта на каждом стержне — его начало; дальше эти направления не меняются.

   Связей 4, уравнений три, лишняя одна. Отбрасываем шарнирно-подвижную опору на конце ригеля — остаётся Г-образная консоль, защемлённая в основании. По ней и строим грузовую эпюру от нагрузки 10 кН/м и единичную от X₁ = 1.

   $$s = n_{\text{связей}} - 3$$
   $$s = 4 - 3 = 1$$
   Грузовая эпюра на стойке

   −180,00 кН·м

   Единичная эпюра на стойке

   6,00 кН·м

   Основная система — консоль. Грузовая эпюра у узла и по всей стойке −180,00 кН·м, единичная на стойке 6,00 кН·м.

2. 2

   Стойка: прямоугольник на прямоугольник

   Стойка не нагружена ничем: вся нагрузка лежит на ригеле. Поэтому обе эпюры на ней постоянны по высоте — грузовая −180,00 кН·м, единичная 6,00 кН·м. Момент приходит с ригеля через жёсткий узел и дальше не меняется.

   Перемножать прямоугольники проще всего: площадь одного — ордината на длину, центр тяжести — посередине, а ордината второго там же равна ему самому. Ни центров тяжести искать, ни фигуры раскладывать.

   $$\omega = M \cdot h, \qquad \delta_{1P}^{\text{стойка}} = \omega \cdot \overline{M}$$
   $$\omega = -180{,}00 \cdot 4 = -720{,}00\ \text{кН·м²}, \qquad -720{,}00\ \text{кН·м²} \cdot 6{,}00 = -4320{,}000$$
   Площадь на стойке

   −720,00 кН·м²

   Вклад стойки в δ₁P

   −4320,000

   Стойка даёт в δ₁P вклад −4320,000, а в δ₁₁ — 144,000. Это больше половины всей суммы: ненагруженный стержень в перемножении участвует наравне с нагруженным.

3. 3

   Ригель: раскладываем параболу

   Под равномерной нагрузкой грузовая эпюра криволинейна: у узла −180,00 кН·м, у опоры ноль, а в середине −45,00 кН·м — не половина от крайних, потому что это парабола. Разложим её на две фигуры: треугольник, соединяющий крайние ординаты прямой, и параболический сегмент поверх него.

   Стрелка сегмента — разность между истинной серединой и серединой хорды: 45,00 кН·м. Площадь параболического сегмента равна двум третям произведения стрелки на длину, центр тяжести — ровно посередине.

   $$f = M^{ц} - \frac{M^{л} + M^{п}}{2}, \qquad \omega_{\text{пар}} = \frac{2}{3} f l$$
   $$f = -45{,}00 - \frac{-180{,}00 + 0}{2} = 45{,}00\ \text{кН·м}, \qquad \omega_{\text{пар}} = \frac{2 \cdot 45{,}00 \cdot 6}{3} = 180{,}00\ \text{кН·м²}$$
   Площадь треугольника

   −540,00 кН·м²

   Стрелка параболы

   45,00 кН·м

   Площадь сегмента

   180,00 кН·м²

   Треугольник даёт площадь −540,00 кН·м², параболический сегмент 180,00 кН·м² — противоположного знака. Вместе с ординатами единичной эпюры они дают вклад ригеля −1620,000.

4. 4

   Складываем вклады стержней

   Перемножение эпюр в раме — это сумма по стержням, а не одно действие. Складываем то, что дали стойка и ригель, отдельно для δ₁₁ и отдельно для δ₁P.

   Проверяем себя формулой Симпсона: она берёт по три ординаты каждой эпюры на участке и не требует ни площадей, ни центров тяжести. Оба способа точны на «парабола на прямую» и обязаны совпасть.

   $$\delta = \sum_{\text{стержни}} \delta^{(i)}$$
   $$\delta_{11} EJ = 144{,}000 + 72{,}000 = 216{,}000; \qquad \delta_{1P} EJ = -4320{,}000 + -1620{,}000 = -5940{,}000$$
   δ₁₁ · EJ

   216,000

   δ₁P · EJ

   −5940,000

   216,000 и −5940,000. Симпсон дал −5940,000 — то же самое, значит разложение параболы сделано верно.

5. 5

   Каноническое уравнение и итоговая эпюра

   Перемещение по направлению отброшенной связи равно нулю: опора там есть. Отсюда X₁ = −δ₁P / δ₁₁, жёсткость сокращается — она входила в оба коэффициента одинаково.

   Итоговую эпюру собирают наложением: грузовая плюс единичная, умноженная на 27,500 кН. Наибольший момент получается 37,812 кН·м и стоит не у опоры и не в заделке, а внутри пролёта ригеля, при 3,250 м от узла.

   $$X_1 = -\frac{\delta_{1P}}{\delta_{11}}, \qquad M = M_P + \overline{M} X_1$$
   $$X_1 = -\frac{-5940{,}000}{216{,}000} = 27{,}500\ \text{кН}, \qquad M_A = 15{,}000\ \text{кН·м}, \qquad \left|M\right|_{max} = 37{,}812\ \text{кН·м}$$
   Лишняя неизвестная

   27,500 кН

   Наибольший момент

   37,812 кН·м

   27,500 кН — реакция отброшенной опоры, 15,000 кН·м — момент в заделке. Деформационная проверка дала 0,000000: итоговая эпюра, перемноженная с единичной, обратилась в ноль.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Метод сил», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Дарков А. В. Строительная механика, гл. 6.

• Складывают площади треугольника и параболы по модулю

  −540,00 кН·м² и 180,00 кН·м² противоположны по знаку: сегмент лежит по другую сторону хорды. Сумма модулей завысит вклад ригеля втрое против истинного −1620,000.

• Не перемножают ненагруженную стойку

  На стойке нет нагрузки, но есть эпюра: момент приходит с ригеля через жёсткий узел. Её вклад −4320,000 — большая часть суммы −5940,000. Пропустив стойку, вы получите X₁ почти вчетверо больше.

• Считают середину параболы полусуммой крайних ординат

  У узла −180,00 кН·м, у опоры ноль, а в середине −45,00 кН·м, а не половина от −180,00 кН·м. Разница и есть стрелка 45,00 кН·м — то, ради чего параболу вообще выделяют в отдельную фигуру.

• Берут одно разбиение на всю раму

  Граница участка обязана стоять в узле: за ним меняется направление стержня и его локальная ось. Здесь участков ровно два — стойка 4,00 м и ригель 6,00 м.