Способ Верещагина: перемножение эпюр

1. 1

   Ось z, основная система и два состояния

   Ось z ведём от заделки вправо, начало отсчёта — в заделке. Обозначение держим до конца: и в грузовом состоянии, и в единичном, и в итоговой эпюре.

   Связей 4 при трёх уравнениях равновесия — одна лишняя. Отбрасываем шарнирно-подвижную опору справа: остаётся консоль, защемлённая в A. По ней строим две эпюры — грузовую от силы 40 кН и единичную от силы X₁ = 1, приложенной вместо отброшенной связи.

   $$s = n_{\text{связей}} - 3$$
   $$s = 4 - 3 = 1$$
   Грузовая эпюра в заделке

   −120,00 кН·м

   Единичная эпюра в заделке

   6,00 кН·м

   Основная система — консоль. Грузовая эпюра у заделки даёт −120,00 кН·м, единичная — 6,00 кН·м.

2. 2

   Разбиение на участки

   Перемножать эпюры целиком нельзя: правило Верещагина требует, чтобы на участке вторая эпюра была ПРЯМОЙ без изломов, а первая имела известные площадь и центр тяжести. Границы участков ставят там, где что-то ломается: в узлах, под сосредоточенными силами и моментами, на концах распределённых нагрузок.

   Здесь излом один — под силой. Получаются два участка по 3,00 м каждый. На правом грузовая эпюра нулевая: сила приложена левее, и консоль за ней не нагружена.

   $$\delta = \sum_{i} \int_{l_i} \frac{M_i \overline{M}_i}{EJ}\,dz$$
   $$\text{участков: } 2, \quad l_1 = 3{,}00\ \text{м}, \quad l_2 = 3{,}00\ \text{м}$$
   Число участков

   2

   Два участка. Правый в δ₁P не даст ничего — грузовая эпюра на нём нулевая, а ноль, умноженный на что угодно, остаётся нулём.

3. 3

   δ₁₁: единичная эпюра сама на себя

   Единичная эпюра — треугольник с вершиной 6,00 кН·м в заделке и нулём на опоре. Перемножаем её саму на себя: площадь треугольника на ординату того же треугольника под его центром тяжести.

   Результат всегда положителен — эпюра умножается сама на себя, а квадрат отрицательным не бывает. Это удобная проверка: отрицательный δ₁₁ означает ошибку в знаке или в разбиении.

   $$\delta_{11} EJ = \frac{l^{3}}{3}$$
   $$\delta_{11} EJ = 63{,}000 + 9{,}000 = 72{,}000$$
   δ₁₁ · EJ

   72,000

   72,000 — сумма вкладов двух участков: 63,000 с левого и 9,000 с правого. Совпадает с табличным l³/3.

4. 4

   δ₁P: грузовая на единичную

   Грузовая эпюра на левом участке — треугольник с вершиной −120,00 кН·м у заделки и нулём под силой. Его площадь −180,00 кН·м²: половина основания на высоту.

   Центр тяжести треугольника лежит на трети длины от той стороны, где вершина, — то есть в метре от заделки. Ордината единичной эпюры в этой точке 5,00 кН·м. Перемножаем площадь на эту ординату, и это весь δ₁P: правый участок, как мы уже выяснили, даёт ноль.

   $$\delta_{1P} EJ = \omega_P \cdot y_1^{\,c}$$
   $$\delta_{1P} EJ = -180{,}00 \cdot 5{,}00 = -900{,}000, \qquad \text{с правого участка } 0{,}000$$
   Площадь грузовой эпюры

   −180,00 кН·м²

   Ордината под центром тяжести

   5,00 кН·м

   δ₁P · EJ

   −900,000

   −900,000. Знак отрицательный: эпюры растягивают разные волокна, и именно поэтому X₁ дальше выйдет положительным.

5. 5

   Проверка вторым способом

   Верещагин не единственный способ перемножить эпюры. Формула Симпсона берёт три ординаты каждой эпюры на участке — по краям и в середине — и не требует ни площадей, ни центров тяжести. Она точна для произведений многочленов до третьей степени, а у нас «квадратичная на линейную», то есть кубическая.

   Оба способа обязаны дать одно и то же число. Расхождение означает арифметическую ошибку, и найти её проще, чем гадать, правильно ли взят центр тяжести.

   $$\delta = \sum \frac{l_i}{6}\left(M^{л}\overline{M}^{л} + 4 M^{ц}\overline{M}^{ц} + M^{п}\overline{M}^{п}\right)$$
   $$\text{Верещагин: } -900{,}000; \qquad \text{Симпсон: } -900{,}000$$
   δ₁P по Симпсону

   −900,000

   Оба способа дали −900,000. Коэффициенты посчитаны верно.

6. 6

   Каноническое уравнение и сверка со справочником

   Каноническое уравнение метода сил говорит: перемещение по направлению отброшенной связи равно нулю — опора там всё-таки есть. Отсюда X₁ находится делением, а жёсткость EJ сокращается: она входит в оба коэффициента одинаково.

   Полученные 12,500 кН и 45,000 кН·м сверяем со справочными 5F/16 и 3Fl/16. Совпало — значит, и разбиение, и площади, и центры тяжести взяты правильно.

   $$\delta_{11} X_1 + \delta_{1P} = 0 \;\Rightarrow\; X_1 = -\frac{\delta_{1P}}{\delta_{11}}$$
   $$X_1 = -\frac{-900{,}000}{72{,}000} = 12{,}500\ \text{кН} \quad \text{против справочных} \ 12{,}50\ \text{кН}$$
   Лишняя неизвестная

   12,500 кН

   Момент в заделке

   45,000 кН·м

   Реакция опоры 12,500 кН, момент в заделке 45,000 кН·м — ровно справочные 12,50 кН и 45,00 кН·м. Деформационная проверка дала 0,000000.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Метод сил», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Дарков А. В. Строительная механика, гл. 6.

• Берут ординату под центром тяжести не той эпюры

  Площадь у одной, ордината у ДРУГОЙ, причём под центром тяжести первой. Взяв обе величины у одной эпюры, вы посчитаете что угодно, только не интеграл: вместо −900,000 выйдет случайное число.

• Забывают разбить эпюру под сосредоточенной силой

  Под силой единичная эпюра ломается. Перемножив «одним куском», вы припишете треугольнику площадь всей длины вместо 3,00 м и получите завышенный δ₁P.

• Ставят центр тяжести треугольника посередине

  Центр тяжести треугольника — на трети длины от стороны с вершиной, а не на половине. Здесь это метр от заделки, ордината 5,00 кН·м. Взяв середину, получите 3,00 м пополам и ошибку процентов в двадцать.

• Теряют знак δ₁P

  −900,000 отрицателен, и потому X₁ вышло положительным. Потеряв минус, вы направите реакцию опоры в другую сторону и получите балку, которую опора тянет вниз.