Рама, один раз неопределимая

1. 1

   Оси, связи и выбор лишнего неизвестного

   Оси глобальные: ось x вправо, ось y вверх, начало отсчёта в левой опоре. Местная координата z у ригеля идёт слева направо, у стоек снизу вверх.

   Две шарнирно-неподвижные опоры дают по две связи каждая — итого 4 при трёх уравнениях равновесия. Система 1 раз неопределима.

   За лишнюю связь берём горизонтальную связь правой опоры. Основная система — та самая П-образная рама на неподвижной и подвижной опорах, которую мы уже умеем считать. X₁ и будет распором.

   $$s = \num{svyazi} - 3 = \val{stepen}$$
   $$X_1 = H\ \text{— горизонтальная реакция правой опоры}$$
   Степень неопределимости

   1

   Одна лишняя связь. Основная система — определимая портальная рама, лишнее неизвестное — распор.

2. 2

   Грузовое состояние

   Основная система под заданной нагрузкой — это разобранная ранее П-образная рама. Моменты в стойках нулевые, ригель работает как балка на двух опорах.

   Максимум грузовой эпюры в середине пролёта равен 54,00 кН·м — то самое ql²/8. Именно эту величину распор и будет сбивать.

   $$M_P^{max} = \frac{q l^{2}}{8}$$
   $$M_P^{max} = \frac{12 \cdot 6^{2}}{8} = 54{,}00\ \text{кН·м}$$
   Момент без распора

   54,00 кН·м

   Грузовая эпюра: парабола на ригеле с максимумом 54,00 кН·м, стойки пустые.

3. 3

   Единичное состояние

   Нагружаем основную систему единичной горизонтальной силой в правой опоре. Она изгибает обе стойки и, пройдя через жёсткие узлы, создаёт постоянный момент на ригеле.

   Единичная эпюра получается характерной: треугольники на стойках с ординатой h в узлах и прямоугольник на ригеле той же высоты. Именно эта постоянная часть и будет вычитаться из параболы.

   $$\bar{M}_1 = z\ \text{на стойках}, \qquad \bar{M}_1 = h\ \text{на ригеле}$$
   $$\bar{M}_1(\text{узел}) = 4$$

   Единичная эпюра охватывает всю раму: стойки изогнуты, ригель нагружен постоянным моментом. Распор работает против нагрузки.

4. 4

   Коэффициенты и распор

   δ11 набирается со всех трёх стержней: две стойки дают по треугольнику, ригель — прямоугольник. δ1P считается только по ригелю: в основной системе стойки не нагружены, и грузовая эпюра на них нулевая.

   Знак X₁ отрицательный: опоры не расходятся, а сжимаются навстречу друг другу. Величину распора по модулю и берут в дальнейший расчёт.

   $$\delta_{11} X_1 + \delta_{1P} = 0$$
   $$\delta_{11} \cdot EJ = 138{,}667; \quad \delta_{1P} \cdot EJ = 864{,}000; \quad X_1 = -6{,}231\ \text{кН}$$
   δ₁₁ · EJ

   138,667

   Распор

   6,231 кН

   Распор 6,231 кН по модулю. Обе горизонтальные реакции равны ему по величине и противоположны по направлению: 6,231 кН и −6,231 кН.

5. 5

   Итоговые эпюры: что дал распор

   Складываем грузовую эпюру с единичной, умноженной на X₁. На ригеле из параболы вычитается постоянная — вершина опускается. В стойках, наоборот, момент появляется там, где его не было.

   Вертикальные реакции распор не меняет: он горизонтален, и в уравнение проекций на вертикаль не входит.

   $$M = M_P + \bar{M}_1 X_1$$
   $$M_{max} = 29{,}077\ \text{кН·м}\ \text{против}\ 54{,}00\ \text{кН·м}\ \text{без распора}; \qquad R_{Ay} = 36{,}000\ \text{кН}$$
   Наибольший момент

   29,077 кН·м

   Вертикальная реакция

   36,000 кН

   Невязка проверки

   0,000000

   Наибольший момент упал с 54,00 кН·м до 29,077 кН·м — почти вдвое. Вертикальные реакции остались прежними: 36,000 кН и 36,000 кН. Деформационная проверка дала 0,000000.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Метод сил», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Дарков А. В. Строительная механика, гл. 6, §6.5.

• Считают распор нулевым, раз нагрузка вертикальна

  Распор возникает не от горизонтальной нагрузки, а от того, что опоры не дают раме разъехаться. Здесь он 6,231 кН при полном отсутствии горизонтальных сил.

• Забывают стойки при подсчёте δ11

  Единичная эпюра ненулевая на всех трёх стержнях, и все три идут в 138,667. Посчитав только ригель, вы завысите распор и занизите момент.

• Включают стойки в δ1P

  В грузовом состоянии, то есть в ОСНОВНОЙ системе, стойки не изогнуты — их момент нулевой. Произведение с нулём вклада не даёт, и 864,000 набирается только с ригеля.

• Пересчитывают вертикальные реакции после нахождения X₁

  Распор горизонтален и на вертикальное равновесие не влияет: 36,000 кН и 36,000 кН те же, что в основной системе. Меняются только моменты.