Какую эпюру брать площадью, а с какой снимать ординату?

Ординату снимают только с прямолинейной эпюры — обычно единичной. Площадь берут у криволинейной. Калькулятор выбирает сам: если прямая одна, ордината берётся с неё; если прямые обе — всё равно.

Что делать, если обе эпюры на участке криволинейные?

Правило Верещагина тогда неприменимо, а формула Симпсона неточна: произведение двух парабол — многочлен четвёртой степени. Калькулятор берёт интеграл точно по трём ординатам каждой эпюры и пишет это в ходе решения.

Как задать знак?

Ординаты вводятся со знаком: эпюры по одну сторону оси — одного знака. Тогда правило «плюс, если эпюры по одну сторону» выполняется само, как обычное умножение чисел.

Почему участки делят по точкам приложения сил?

На участке обе эпюры должны быть гладкими: прямой или одной параболой. Излом под сосредоточенной силой или скачок под моментом — граница участка; иначе ни Верещагин, ни Симпсон не дадут точного ответа.

Перемножение эпюр онлайн

Перемещение по интегралу Мора — это сумма ∫M·M̄dz/EI по участкам. Задайте ординаты грузовой и единичной эпюры на каждом участке: калькулятор перемножит их по правилу Верещагина, проверит формулой Симпсона и покажет ход решения по каждому участку. Форма открыта на примере из учебника — прогиб середины пролёта под равномерной нагрузкой, 5ql⁴/384.

Участки

Ординаты по краям участка и, если эпюра криволинейная, в середине. Пустая середина — прямая. Знак — сторона эпюры.

Участок 1
Длина l, мЖёсткость, ×EI
Эпюра M
слевасерединасправа
Эпюра M̄
слевасерединасправа
Участок 2
Длина l, мЖёсткость, ×EI
Эпюра M
слевасерединасправа
Эпюра M̄
слевасерединасправа

EI, кН·м² — чтобы получить мм

Формулы, по которым считает калькулятор

Правило Верещагина. Если одна из эпюр на участке прямая, интеграл равен площади другой эпюры, умноженной на ординату прямой под её центром тяжести: ∫M·M̄dz = ω·y_c. Криволинейную эпюру участка калькулятор раскладывает на два треугольника и параболу: у каждой фигуры центр тяжести известен, и знакопеременная эпюра не ломает правило.

Формула Симпсона. ∫M·M̄dz = l/6·(M_л·M̄_л + 4·M_с·M̄_с + M_п·M̄_п) — по ординатам слева, в середине и справа. Точна, когда одна эпюра прямая, а другая не выше квадратной параболы; калькулятор считает ею проверку.

Две параболы. Если криволинейны обе эпюры, интеграл берётся точно по трём ординатам каждой: l/30·(4f_лg_л + 2f_лg_с − f_лg_п + … + 4f_пg_п). При прямой g эта формула совпадает с формулой Симпсона.

Источники: Дарков А. В., Шапошников Н. Н. «Строительная механика», гл. 7; Феодосьев В. И. «Сопротивление материалов», § 47; Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. «Сопротивление материалов», гл. 9.

Где это нужно

Полный пример с рамой — от эпюр до ответа: перемножение эпюр на примере.
Почему ординату берут у прямой и что делать со знаком: правило Верещагина.
Откуда формула перемещения: интеграл Мора.
Раскрыть статическую неопределимость целиком — δ₁₁, Δ₁P и X₁ считает калькулятор метода сил.

Вопросы о перемножении эпюр

Какую эпюру брать площадью, а с какой снимать ординату?: Ординату снимают только с прямолинейной эпюры — обычно единичной. Площадь берут у криволинейной. Калькулятор выбирает сам: если прямая одна, ордината берётся с неё; если прямые обе — всё равно.
Что делать, если обе эпюры на участке криволинейные?: Правило Верещагина тогда неприменимо, а формула Симпсона неточна: произведение двух парабол — многочлен четвёртой степени. Калькулятор берёт интеграл точно по трём ординатам каждой эпюры и пишет это в ходе решения.
Как задать знак?: Ординаты вводятся со знаком: эпюры по одну сторону оси — одного знака. Тогда правило «плюс, если эпюры по одну сторону» выполняется само, как обычное умножение чисел.
Почему участки делят по точкам приложения сил?: На участке обе эпюры должны быть гладкими: прямой или одной параболой. Излом под сосредоточенной силой или скачок под моментом — граница участка; иначе ни Верещагин, ни Симпсон не дадут точного ответа.