Теорема Штейнера: тавровое сечение

1. 1

   Вспомогательная ось и площади элементов

   Начало отсчёта помещаем на нижнюю грань тавра, вертикальная ось координат z направлена вверх. Это вспомогательная ось: относительно неё удобно записать положения элементов, а окончательные моменты инерции всё равно будут считаться относительно центральной оси, которую мы найдём на шаге 2.

   Разбиваем сечение на два прямоугольника. Стенка стоит от нуля до 80 мм, значит её собственный центр тяжести на высоте 40 мм. Полка лежит сверху, её центр — на 90 мм.

   $$F_i = b_i h_i, \qquad F = F_1 + F_2$$
   $$F_1 = 20 \cdot 80 = 1600\ \text{мм²}; \quad F_2 = 100 \cdot 20 = 2000\ \text{мм²}; \quad F = 3600\ \text{мм²}$$
   Площадь стенки

   1600 мм²

   Площадь полки

   2000 мм²

   Площадь сечения

   3600 мм²

   Площадь стенки 1600 мм², площадь полки 2000 мм², вместе 3600 мм². Полка при меньшей высоте площадью больше — это скажется на положении центра тяжести.

2. 2

   Статический момент и центр тяжести

   Статический момент площади относительно вспомогательной оси — это сумма произведений площадей на расстояния до неё. Величина линейная, поэтому считается просто, а её деление на полную площадь сразу даёт координату центра тяжести.

   Физический смысл тот же, что у центра масс в механике: если мысленно вырезать сечение из однородного листа, оно уравновесится на игле, поставленной в найденную точку.

   $$S_y = \sum F_i z_i, \qquad z_c = \frac{S_y}{F}$$
   $$S_y = 1600\ \text{мм²} \cdot 40 + 2000\ \text{мм²} \cdot 90 = 244000\ \text{мм³}; \qquad z_c = \frac{244000}{3600} = 67{,}78\ \text{мм}$$
   Статический момент

   244000 мм³

   Центр тяжести

   67,78 мм

   Центр тяжести на высоте 67,78 мм от нижней грани. Он смещён к полке — туда, где больше площади.

3. 3

   Плечи переноса

   Теперь у нас есть центральная ось: горизонтальная линия на высоте 67,78 мм. Плечо переноса элемента — расстояние от его собственного центра тяжести до этой оси, и именно оно войдёт в формулу Штейнера в квадрате.

   Знак плеча роли не играет: в формулу оно входит в квадрате. А вот величина важна — ошибка в плече раздувается вдвое.

   $$a_i = z_i - z_c$$
   $$a_1 = \left|40 - 67{,}78\ \text{мм}\right| = 27{,}78\ \text{мм}; \qquad a_2 = \left|90 - 67{,}78\ \text{мм}\right| = 22{,}22\ \text{мм}$$
   Плечо стенки

   27,78 мм

   Плечо полки

   22,22 мм

   Плечо стенки 27,78 мм, плечо полки 22,22 мм.

4. 4

   Момент инерции по теореме Штейнера

   Формула Штейнера складывает две вещи: собственный момент инерции элемента относительно своей центральной оси и произведение площади на квадрат плеча. Второе слагаемое отвечает за то, что элемент отодвинут от общей оси.

   Разложим сумму по элементам, чтобы было видно, кто сколько даёт. Собственный момент стенки 853333 мм⁴, полки — 66667 мм⁴; с учётом переноса они превращаются в 2087901 мм⁴ и 1054321 мм⁴.

   $$I_y = \sum \left(I_{y_i} + a_i^{2} F_i\right)$$
   $$I_y = \left(853333\ \text{мм⁴} + 27{,}78\ \text{мм}^{2} \cdot 1600\ \text{мм²}\right) + \left(66667\ \text{мм⁴} + 22{,}22\ \text{мм}^{2} \cdot 2000\ \text{мм²}\right) = 3142222\ \text{мм⁴}$$
   Вклад стенки

   2087901 мм⁴

   Вклад полки

   1054321 мм⁴

   Момент инерции

   3142222 мм⁴

   3142222 мм⁴ относительно центральной оси. Без переносных слагаемых получилось бы всего 920000 мм⁴ — то есть больше двух третей жёсткости даёт именно перенос.

5. 5

   Вторая ось и характеристики прочности

   Относительно вертикальной центральной оси z переносить нечего: оба прямоугольника симметричны относительно неё, плечи нулевые. Поэтому I_z — просто сумма табличных значений.

   Момент сопротивления считаем по дальней от оси точке. У тавра сечение несимметрично по высоте, так что расстояния вверх и вниз разные, и ядро берёт большее из них — то, где напряжение выйдет максимальным.

   $$I_z = \sum I_{z_i}; \qquad W = \frac{I_y}{z_{max}}; \qquad i = \sqrt{\frac{I_y}{F}}$$
   $$I_z = 1720000\ \text{мм⁴}; \qquad W = 46361\ \text{мм³}; \qquad i = \sqrt{\frac{3142222}{3600}} = 29{,}54\ \text{мм}$$
   Момент инерции относительно z

   1720000 мм⁴

   Момент сопротивления

   46361 мм³

   Радиус инерции

   29,54 мм

   Момент инерции относительно вертикальной оси 1720000 мм⁴, момент сопротивления 46361 мм³, радиус инерции 29,54 мм.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Сечения», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Александров А. В. Сопротивление материалов, §4.3.

• Складывают табличные моменты инерции без переноса

  Самая частая и самая дорогая ошибка. Здесь простая сумма даёт 920000 мм⁴ вместо 3142222 мм⁴ — занижение больше чем втрое. Проверяйте себя вопросом: совпадает ли центр тяжести элемента с центром тяжести сечения? Если нет — перенос обязателен.

• Берут плечо от вспомогательной оси, а не от центральной

  Плечо отсчитывается от той оси, относительно которой мы в итоге считаем момент инерции, то есть от центральной. Для полки это 22,22 мм, а не 90 мм.

• Забывают возвести плечо в квадрат

  В a²F квадрат стоит только у плеча. Пропущенный квадрат даёт результат в разы меньше и заодно ломает размерность: мм·мм² — это мм³, то есть статический момент, а не момент инерции.

• Переносят с оси, которая не центральная для элемента

  Формула Штейнера выведена для переноса именно с собственной центральной оси элемента. Если табличное значение дано относительно грани, его сначала надо привести к центру, и только потом переносить дальше.

• Считают центр тяжести как среднее координат

  Полусумма 40 мм и 90 мм дала бы не 67,78 мм: координаты надо взвешивать по площадям. Среднее арифметическое верно только для элементов равной площади.