Главные центральные оси сечения

1. 1

   Начало отсчёта и центр тяжести

   Начало отсчёта — внутренний угол уголка, ось y направлена вправо, ось z вверх. От этой пары считаем координаты элементов; окончательные характеристики уйдут к центральным осям, а затем к главным, но обозначения y и z сохранятся за исходным направлением на всём разборе.

   Центр тяжести ищем обычным взвешиванием по площадям, отдельно по каждой координате: у несимметричной фигуры искать надо обе.

   $$y_c = \frac{\sum F_i y_i}{F}, \qquad z_c = \frac{\sum F_i z_i}{F}$$
   $$F = 2400\ \text{мм²} + 1600\ \text{мм²} = 4000\ \text{мм²}; \qquad y_c = 30{,}00\ \text{мм}; \qquad z_c = 40{,}00\ \text{мм}$$
   Площадь

   4000 мм²

   Центр по y

   30,00 мм

   Центр по z

   40,00 мм

   Площадь 4000 мм², центр тяжести в точке (30,00 мм; 40,00 мм) от внутреннего угла. Он лежит вне металла — для уголка это нормально.

2. 2

   Осевые моменты инерции

   Считаем как обычно, по Штейнеру: собственный момент каждой полосы плюс площадь на квадрат плеча до центральной оси.

   Вертикальная полоса вытянута вверх, поэтому она главный вкладчик в I_y; горизонтальная вытянута вбок и работает на I_z. Числа получаются одного порядка, но не равные.

   $$I_y = \sum \left(I_{y_i} + a_i^{2} F_i\right), \qquad I_z = \sum \left(I_{z_i} + b_i^{2} F_i\right)$$
   $$I_y = 5333333\ \text{мм⁴}; \qquad I_z = 3333333\ \text{мм⁴}$$
   Момент инерции относительно y

   5333333 мм⁴

   Момент инерции относительно z

   3333333 мм⁴

   5333333 мм⁴ относительно горизонтальной оси и 3333333 мм⁴ относительно вертикальной.

3. 3

   Центробежный момент инерции

   Центробежный момент — интеграл от произведения двух координат. В отличие от осевых он может быть отрицательным: произведение координат меняет знак по четвертям.

   У элемента-прямоугольника со сторонами, параллельными осям, собственный центробежный момент равен нулю. Значит весь I_yz здесь набегает только от переноса: произведение плеч на площадь.

   Плечи вертикальной полосы 20 мм и −20 мм, горизонтальной — −30 мм и 30 мм. Знаки обязательны: именно они дают итоговый минус.

   $$I_{yz} = \sum \left(I_{yz_i} + a_i b_i F_i\right)$$
   $$I_{yz} = 20\ \text{мм} \cdot -20\ \text{мм} \cdot 2400\ \text{мм²} + -30\ \text{мм} \cdot 30\ \text{мм} \cdot 1600\ \text{мм²} = -2400000\ \text{мм⁴}$$
   Центробежный момент

   −2400000 мм⁴

   −2400000 мм⁴. Не ноль — значит выбранные оси не главные, и их надо повернуть.

4. 4

   Угол поворота главных осей

   Приравняв центробежный момент в повёрнутых осях к нулю, получают уравнение для угла. Решается оно через тангенс двойного угла, поэтому корней два, отличающихся на 90° — это и есть две главные оси, всегда взаимно перпендикулярные.

   Угол отсчитывается от оси y против часовой стрелки. Положительное значение означает, что главную ось надо повернуть влево-вверх.

   $$\operatorname{tg} 2\alpha = -\frac{2 I_{yz}}{I_y - I_z}$$
   $$\operatorname{tg} 2\alpha = -\frac{2 \cdot -2400000}{5333333 - 3333333} \;\Rightarrow\; \alpha = 33{,}69\ \text{°}$$
   Угол поворота

   33,69 °

   33,69 ° — на столько повёрнуты главные центральные оси относительно исходных. Вторая главная ось перпендикулярна первой.

5. 5

   Главные моменты инерции

   Подставив найденный угол в формулы поворота, получают экстремальные значения момента инерции. Их принято обозначать U и V: относительно одной оси момент максимален по всем возможным направлениям, относительно другой — минимален.

   Формула даёт оба разом: полусумма плюс-минус корень. Под корнем квадрат разности осевых моментов и учетверённый квадрат центробежного.

   $$I_{max,min} = \frac{I_y + I_z}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{\left(I_y - I_z\right)^{2} + 4 I_{yz}^{2}}$$
   $$I_U = 6933333\ \text{мм⁴}; \qquad I_V = 1733333\ \text{мм⁴}$$
   Наибольший момент инерции

   6933333 мм⁴

   Наименьший момент инерции

   1733333 мм⁴

   6933333 мм⁴ и 1733333 мм⁴. Разброс большой: относительно неудачного направления уголок вчетверо податливее, чем относительно удачного.

6. 6

   Проверка и характеристики прочности

   Сумма осевых моментов инерции при повороте осей не меняется — это инвариант, и он даёт бесплатную проверку всего расчёта. Если суммы разошлись, ошибка где-то выше.

   Моменты сопротивления и радиусы инерции считаются уже относительно главных осей: расчёт на прочность и на устойчивость всегда идёт в главных осях, а не в тех, что удобнее было рисовать.

   $$I_y + I_z = I_U + I_V; \qquad i_U = \sqrt{\frac{I_U}{F}}, \quad i_V = \sqrt{\frac{I_V}{F}}$$
   $$8666667\ \text{мм⁴} = 8666667\ \text{мм⁴}; \qquad W_U = 83328\ \text{мм³}, \; W_V = 36762\ \text{мм³}; \qquad i_U = 41{,}63\ \text{мм}, \; i_V = 20{,}82\ \text{мм}$$
   Инвариант суммы

   8666667 мм⁴

   Меньший момент сопротивления

   36762 мм³

   Меньший радиус инерции

   20,82 мм

   Суммы совпали: 8666667 мм⁴ и 8666667 мм⁴. Моменты сопротивления 83328 мм³ и 36762 мм³, радиусы инерции 41,63 мм и 20,82 мм.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Сечения», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Александров А. В. Сопротивление материалов, §4.6–4.7.

• Теряют знаки плеч в центробежном моменте

  В I_yz плечи входят в первой степени, поэтому знак решает всё. Взяв оба плеча по модулю, получили бы плюс вместо −2400000 мм⁴ — и угол поворота вышел бы в другую сторону.

• Забывают, что тангенс двойного угла даёт два корня

  Уравнение определяет 2α с точностью до 180°, значит α — с точностью до 90°. Оба корня верны, просто один отвечает оси с максимальным моментом инерции, другой — с минимальным. Проверить, какой именно получился, можно подстановкой в формулу поворота.

• Считают центробежный момент относительно случайных осей

  Все формулы этой страницы работают только для ЦЕНТРАЛЬНЫХ осей. Пока центр тяжести не найден, ни угол, ни главные моменты инерции смысла не имеют.

• Не проверяют инвариант

  Равенство 8666667 мм⁴ и 8666667 мм⁴ проверяется в одну строку и ловит почти любую арифметическую ошибку. Пренебрегать такой дешёвой проверкой не стоит.

• Берут для расчёта прочности I_y вместо I_V

  Опасен минимум, а не то направление, которое было удобно нарисовать. Разница здесь между 5333333 мм⁴ и 1733333 мм⁴ почти трёхкратная, и ошибка идёт не в запас.