Статический момент сечения

Статический момент площади — сумма произведений площадей частей сечения на расстояния от их центров тяжести до оси. Измеряется в мм³ или см³. Относительно оси через центр тяжести он равен нулю, поэтому центр тяжести и находят как S, делённый на площадь.

Статический момент — первая геометрическая характеристика сечения, раньше момента инерции. Сам по себе он редко нужен в ответе, но без него не найти центр тяжести составного сечения, а без центра тяжести — ни момента инерции, ни напряжений.

Он же стоит в формуле Журавского для касательных напряжений при изгибе — там берут статический момент не всего сечения, а отсечённой части.

Определение и составное сечение

Строго статический момент — интеграл по площади от расстояния до оси. Для сечения из простых фигур интеграл заменяется суммой: площадь каждой фигуры на расстояние от её центра тяжести до оси.

Расстояния берут со знаком: части по разные стороны от оси дают вклады разных знаков. Вырез — прямоугольное отверстие, например, — входит с отрицательной площадью.

Определение
Sx=∫Ay dAS_{x} = \int_{A} y\,dA
Для составного сечения
Sx=∑iAi yiS_{x} = \sum_{i} A_{i}\,y_{i}

Центр тяжести

Центр тяжести — точка, относительно которой статический момент равен нулю. Отсюда формула его координаты: статический момент относительно произвольной оси, делённый на всю площадь.

Вспомогательную ось выбирают так, чтобы расстояния считались легко: по нижней грани сечения или по оси симметрии.

Координата центра тяжести
yc=SxA=∑Ai yi∑Aiy_{c} = \frac{S_{x}}{A} = \frac{\sum A_{i}\,y_{i}}{\sum A_{i}}

Где ещё он нужен

В формуле Журавского касательное напряжение на уровне y пропорционально статическому моменту отсечённой части сечения — той, что лежит выше или ниже этого уровня. Поэтому касательные напряжения наибольшие на нейтральной оси: отсечённая часть там самая большая.

На числах

Тавр из двух прямоугольников площадью 1600 мм² и 2000 мм²: их статический момент относительно нижней грани 244000 мм³, и центр тяжести — на высоте 67,78 мм.

Площадь сечения
3600 мм²
Статический момент
244000 мм³
Центр тяжести
67,78 мм
Тавр: центр тяжести смещён к полке
Тавр: центр тяжести смещён к полке
Весь разбор целиком: Как применить теорему Штейнера к тавровому сечению →

Где обычно ошибаются

  • Берут расстояние до края фигуры, а не до её центра

    В сумму идёт расстояние от центра тяжести каждой части. У прямоугольника это середина его высоты, а не нижняя грань.

  • Забывают знак у выреза

    Отверстие входит с минусом — и в площадь, и в статический момент. Иначе центр тяжести уедет в сторону выреза вместо обратной.

  • Ищут центр тяжести тавра посередине высоты

    Он смещён к более массивной части — полке. Здесь центр тяжести на высоте 67,78 мм, а не в середине сечения.

Частые вопросы

В чём измеряется статический момент?

В единицах длины в третьей степени: мм³ или см³. Площадь на расстояние — квадрат на линейный размер.

Почему статический момент относительно центральной оси равен нулю?

Так определён центр тяжести: вклады частей по разные стороны от центральной оси равны и противоположны по знаку.

Центр тяжести сечения →
Чем статический момент отличается от момента инерции?

В статическом моменте расстояние в первой степени, в моменте инерции — в квадрате. Первый может быть нулём и отрицательным, второй всегда положителен.

Что такое момент инерции →

Попробовать на своей задаче

Сечения — считать онлайн

Рядом по теме