Сечение из двух швеллеров

1. 1

   Как ставим оси

   Сечение симметрично дважды, поэтому начало координат очевидно: точка на стыке спинок посередине высоты. Горизонтальная ось y проходит через неё вдоль стыка, вертикальная ось z — поперёк. Обе центральные, обе главные, искать центр тяжести не нужно.

   Дальше всё считается относительно этой пары осей, и обозначения по ходу разбора не меняются.

   $$y_c = 0, \qquad z_c = 0$$
   $$y_c = 0{,}00\ \text{мм}, \qquad z_c = 0{,}00\ \text{мм}$$
   Центр по y

   0,00 мм

   Центр по z

   0,00 мм

   Центр тяжести 0,00 мм по горизонтали и 0,00 мм по вертикали от точки стыка — то есть ровно в ней.

2. 2

   Площадь

   Площадь профиля — табличная величина. Складывать нечего, кроме двойки: профили одинаковые.

   Обратите внимание, что площадь по ГОСТ уже учитывает скругления и уклон полок, поэтому пересчитывать её через габариты не нужно — получится завышенно.

   $$F = 2 F_1$$
   $$F = 2 \cdot 2340\ \text{мм²} = 4680\ \text{мм²}$$
   Площадь сечения

   4680 мм²

   Площадь сечения 4680 мм².

3. 3

   Момент инерции относительно оси y — без переноса

   Ось y проходит через центры тяжести обоих швеллеров: они расставлены по горизонтали, а по вертикали их центры на одном уровне. Плечо нулевое, значит теорема Штейнера ничего не добавляет.

   Это и есть ответ на вопрос «когда можно просто сложить таблицу»: когда центры тяжести элементов лежат на самой оси.

   $$I_y = 2 I_{y_1}$$
   $$I_y = 2 \cdot 15200000\ \text{мм⁴} = 30400000\ \text{мм⁴}$$
   Момент инерции относительно y

   30400000 мм⁴

   30400000 мм⁴. Это «сильная» ось — на неё и рассчитывают балку из спаренных швеллеров.

4. 4

   Момент инерции относительно оси z — с переносом

   А вот по горизонтали центры тяжести профилей отодвинуты от оси z. Насколько именно — говорит табличная величина z₀ = 20,7 мм: это расстояние от спинки швеллера до его собственного центра тяжести. Поскольку спинки лежат в плоскости оси z, плечо равно как раз z₀.

   Переносное слагаемое здесь даёт 1002667 мм⁴ на каждый профиль — почти столько же, сколько собственный момент инерции 1130000 мм⁴. Забыть его — значит ошибиться почти вдвое.

   $$I_z = 2\left(I_{z_1} + z_0^{2} F_1\right)$$
   $$I_z = 2 \cdot \left(1130000\ \text{мм⁴} + 20{,}7\ \text{мм}^{2} \cdot 2340\ \text{мм²}\right) = 4265333\ \text{мм⁴}$$
   Переносное слагаемое

   1002667 мм⁴

   Момент инерции относительно z

   4265333 мм⁴

   4265333 мм⁴ против 2260000 мм⁴, если перенос пропустить. Разница почти двукратная — а расчёт устойчивости стойки идёт как раз по меньшему моменту инерции.

5. 5

   Моменты сопротивления и радиусы инерции

   Сечение симметрично относительно обеих осей, поэтому крайние точки равноудалены и момент сопротивления по каждой оси один, а не два.

   Радиусы инерции понадобятся, если сечение работает как стойка: гибкость считается по меньшему из них, здесь это 30,19 мм.

   $$W = \frac{I}{c_{max}}, \qquad i = \sqrt{\frac{I}{F}}$$
   $$W_y = 304000\ \text{мм³}, \quad W_z = 56123\ \text{мм³}; \qquad i_y = 80{,}60\ \text{мм}, \quad i_z = 30{,}19\ \text{мм}$$
   Момент сопротивления по y

   304000 мм³

   Момент сопротивления по z

   56123 мм³

   Меньший радиус инерции

   30,19 мм

   По сильной оси 304000 мм³ и 80,60 мм, по слабой 56123 мм³ и 30,19 мм. Разница в радиусах инерции почти втрое — сечение заметно анизотропно.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Сечения», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: ГОСТ 8240-97. Швеллеры стальные горячекатаные. Сортамент.

• Отсчитывают плечо от середины швеллера

  Плечо — это 20,7 мм, расстояние от спинки до центра тяжести профиля, а не половина ширины полки. У швеллера центр тяжести смещён к спинке, и таблица даёт это смещение готовым.

• Удваивают момент инерции по обеим осям

  По сильной оси удвоение верно — 30400000 мм⁴. По слабой такое удвоение дало бы 2260000 мм⁴ вместо 4265333 мм⁴: там центры тяжести профилей от оси отодвинуты, и перенос обязателен.

• Пересчитывают площадь профиля по габаритам

  Высота на толщину даёт больше, чем 2340 мм²: прокат имеет уклон полок и скругления. Все геометрические характеристики берутся из сортамента, а не выводятся из размеров.

• Считают гибкость по большему радиусу инерции

  Стойка теряет устойчивость в самой податливой плоскости, поэтому в гибкость идёт меньший радиус — 30,19 мм, а не 80,60 мм.