Два швеллера коробкой

1. 1

   Оси: искать центр тяжести не нужно

   Ось y ведём горизонтально, ось z вертикально, начало отсчёта — в центре тяжести сечения. Сечение дважды симметрично: относительно вертикальной оси, потому что швеллеры зеркальны, и относительно горизонтальной, потому что оба стоят на одной высоте.

   Любая ось симметрии проходит через центр тяжести и является главной. У нас таких осей две, значит центробежный момент инерции нулевой, оси y и z — главные центральные, а искать 0,00 мм и 0,00 мм не приходится: они нули по построению.

   $$\text{две оси симметрии} \;\Rightarrow\; I_{yz} = 0, \quad y_c = z_c = 0$$
   $$y_c = 0{,}00\ \text{мм}, \qquad z_c = 0{,}00\ \text{мм}, \qquad F = 2 \cdot 2340 = 4680\ \text{мм²}$$
   Площадь сечения

   4680 мм²

   Площадь 4680 мм², центр тяжести в геометрическом центре. Оси y и z главные центральные без всяких вычислений.

2. 2

   Момент инерции относительно горизонтальной оси

   Ось y проходит через центры тяжести ОБОИХ швеллеров: они стоят на одной высоте. Переносить нечего — переносные слагаемые нулевые, и моменты инерции просто складываются.

   Отсюда и берётся то, о чём говорилось во вводке: развод полок на 30400000 мм⁴ не влияет вовсе. Швеллеры можно расставить как угодно широко, момент инерции относительно горизонтальной оси останется прежним.

   $$I_y = 2 I_{y1}$$
   $$I_y = 2 \cdot 15200000 = 30400000\ \text{мм⁴}$$
   Момент инерции I_y

   30400000 мм⁴

   Момент сопротивления

   304000 мм³

   30400000 мм⁴ — ровно удвоенный табличный момент инерции швеллера. Момент сопротивления 304000 мм³, радиус инерции 80,60 мм.

3. 3

   Момент инерции относительно вертикальной оси

   Здесь всё наоборот. Центр тяжести каждого швеллера отстоит от оси z на 79,3 мм, и переносное слагаемое — площадь на квадрат этого плеча — даёт 14715067 мм⁴ с каждого профиля.

   Собственный момент инерции швеллера относительно своей вертикальной оси всего 1130000 мм⁴. Переносное больше него тринадцатикратно: почти весь 31690133 мм⁴ набран не металлом профиля, а тем, что этот металл отодвинут от оси.

   $$I_z = 2\left(I_{z1} + b^{2} F_1\right)$$
   $$I_z = 2\left(1130000 + 79{,}3^{2} \cdot 2340\right) = 2\left(1130000 + 14715067\right) = 31690133\ \text{мм⁴}$$
   Переносное слагаемое

   14715067 мм⁴

   Момент инерции I_z

   31690133 мм⁴

   31690133 мм⁴. Против 4265333 мм⁴ у той же пары швеллеров, сдвинутых спинками вплотную, — больше в 7,43 раза.

4. 4

   Радиусы инерции: зачем коробку вообще делают

   Для сжатой стойки решает не момент инерции, а радиус инерции: именно он входит в гибкость, а гибкость определяет сечение. Считаем оба радиуса и смотрим на их отношение.

   80,60 мм и 82,29 мм — отношение 1,021, то есть сечение практически равножёсткое. У той же пары спинками вплотную меньший радиус был бы 30,19 мм, почти втрое хуже. Стойка из коробки выпучится одинаково неохотно в любую сторону, и это ровно то, что нужно колонне.

   $$i = \sqrt{\frac{I}{F}}, \qquad \frac{i_{max}}{i_{min}} \to 1$$
   $$i_y = \sqrt{\frac{30400000}{4680}} = 80{,}60\ \text{мм}, \qquad i_z = \sqrt{\frac{31690133}{4680}} = 82{,}29\ \text{мм}$$
   Радиус инерции i_y

   80,60 мм

   Радиус инерции i_z

   82,29 мм

   Радиусы 80,60 мм и 82,29 мм различаются на два процента. Расчётная гибкость стойки будет одинаковой в обеих плоскостях — сечение используется полностью.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Сечения», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Сборник задач по сопротивлению материалов под ред. В. К. Качурина, разд. «Геометрические характеристики».

• Складывают табличные I_z без переноса

  Сумма собственных моментов инерции дала бы вдвое 1130000 мм⁴ — против истинного 31690133 мм⁴. Переносные слагаемые здесь дают почти всё: 14715067 мм⁴ с каждого профиля.

• Отмеряют плечо от спинки, а не от центра тяжести профиля

  Плечо переноса 79,3 мм отсчитывается от оси z до ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ швеллера, а он смещён от спинки на 20,7 мм. Отмерив до спинки, получите завышенный 14715067 мм⁴.

• Ждут прироста I_y от развода профилей

  30400000 мм⁴ у коробки и у пары спинками вплотную одинаков. Развод работает поперёк себя — только на 31690133 мм⁴. Это же и объясняет, почему для балки коробка бессмысленна.

• Считают планки частью сечения

  Соединительные планки в момент инерции не входят: их вклад мал и нормами не учитывается. Но убрать их нельзя — без них ветви работают порознь, и расчётная гибкость считается по одной ветви.