Швеллеры с листом

1. 1

   Оси и площади

   Ось y ведём горизонтально, ось z вертикально вверх, начало отсчёта на первом шаге берём в центре тяжести швеллеров — оттуда удобно отмерять положение листа. Вертикальная ось симметрии есть, горизонтальной нет.

   Собираем площади: два швеллера по 1810 мм² и лист 2400 мм². Итого 6020 мм² — лист добавил к коробке (3620 мм²) две трети её собственной площади.

   $$F = 2 F_{\text{швеллера}} + F_{\text{листа}}$$
   $$F = 2 \cdot 1810 + 2400 = 6020\ \text{мм²}$$
   Площадь сечения

   6020 мм²

   Площадь листа

   2400 мм²

   Площадь 6020 мм². Ось y осталась осью симметрии, поэтому 0,00 мм нулевая — искать придётся только 33,89 мм.

2. 2

   Центр тяжести уехал вверх

   Статический момент считаем относительно оси, проходящей через центры тяжести швеллеров: их вклад тогда нулевой, и остаётся только лист на плече 85,0 мм.

   Делим статический момент 204000 мм³ на всю площадь и получаем смещение центра тяжести 33,89 мм вверх. Дальше все моменты инерции считаем уже относительно НОВОЙ оси, проходящей через эту точку.

   $$z_c = \frac{\sum S_{yi}}{\sum F_i}$$
   $$z_c = \frac{2400 \cdot 85{,}0}{6020} = \frac{204000}{6020} = 33{,}89\ \text{мм}$$
   Смещение центра тяжести

   33,89 мм

   Плечо листа

   51,11 мм

   Центр тяжести поднялся на 33,89 мм над серединой швеллеров. Плечи переноса: у швеллеров 33,89 мм, у листа 51,11 мм.

3. 3

   Момент инерции с переносами

   Каждый элемент вносит собственный момент инерции плюс переносное слагаемое — площадь на квадрат расстояния до новой оси. У швеллеров плечо небольшое (33,89 мм), но их два; у листа плечо втрое больше, зато сам он тонкий.

   В итоге швеллеры дают 9548480 мм⁴, лист 6290082 мм⁴. Собственный момент инерции листа при этом почти ничего не значит: тонкая пластина работает не своей толщиной, а тем, что отнесена от оси.

   $$I_y = \sum \left(I_{yi} + a_i^{2} F_i\right)$$
   $$I_y = 9548480 + 6290082 = 25387043\ \text{мм⁴}$$
   Вклад швеллеров

   9548480 мм⁴

   Вклад листа

   6290082 мм⁴

   Момент инерции

   25387043 мм⁴

   25387043 мм⁴ против 14940000 мм⁴ у голой коробки — лист поднял момент инерции в 1,70 раза, добавив всего две трети площади. Вот ради чего его и ставят.

4. 4

   Два момента сопротивления вместо одного

   Крайние волокна теперь на разном расстоянии от оси: до верха 56,11 мм, до низа 113,89 мм. Момент сопротивления — это момент инерции, делённый на расстояние, значит их тоже два.

   Верхний 452427 мм³ вдвое больше нижнего 222914 мм³. Расчётный — МЕНЬШИЙ: напряжение в нижнем волокне выйдет вдвое выше, и именно оно упрётся в допускаемое первым.

   $$W_{\text{верх}} = \frac{I_y}{z_{\text{верх}}}, \qquad W_{\text{низ}} = \frac{I_y}{z_{\text{низ}}}$$
   $$W_{\text{верх}} = \frac{25387043}{56{,}11} = 452427\ \text{мм³}, \qquad W_{\text{низ}} = \frac{25387043}{113{,}89} = 222914\ \text{мм³}$$
   Верхний W

   452427 мм³

   Нижний W (расчётный)

   222914 мм³

   Расчётный момент сопротивления 222914 мм³ — нижний. Радиусы инерции 64,94 мм и 72,40 мм.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Сечения», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Сборник задач по сопротивлению материалов под ред. В. К. Качурина, разд. «Геометрические характеристики».

• Берут больший момент сопротивления

  Расчётный — 222914 мм³, а не 452427 мм³. Делить надо на БОЛЬШЕЕ расстояние до крайнего волокна 113,89 мм: там напряжение выше, там и предел наступит раньше.

• Считают моменты инерции относительно старой оси

  После появления листа центр тяжести уехал на 33,89 мм. Переносы отмеряются от НОВОЙ оси: 33,89 мм у швеллеров, 51,11 мм у листа. Плечи от прежней оси дадут завышенный 25387043 мм⁴.

• Ищут y_c, хотя ось симметрии вертикальная

  Сечение симметрично относительно вертикальной оси, поэтому 0,00 мм нулевая по построению. Считать надо только 33,89 мм — половина работы отпадает сразу.

• Учитывают собственный момент инерции листа как значимый

  Тонкая пластина сама по себе почти не сопротивляется изгибу: её вклад 6290082 мм⁴ — это переносное слагаемое, а не b t³/12. Отсюда и правило «шире и тоньше».