Два двутавра в одном сечении

1. 1

   Оси и площадь

   Ось y ведём горизонтально, ось z вертикально, начало отсчёта — посередине между профилями. Сечение симметрично относительно обеих осей: профили одинаковы, стоят на одной высоте и равноудалены от вертикали.

   Значит, обе оси главные центральные, центробежный момент инерции нулевой, 0,00 мм и 0,00 мм — нули. Площадь 5432 мм², вдвое больше площади одного профиля 2716 мм².

   $$F = 2 F_1, \qquad I_{yz} = 0$$
   $$F = 2 \cdot 2716 = 5432\ \text{мм²}, \qquad y_c = 0{,}00\ \text{мм}, \quad z_c = 0{,}00\ \text{мм}$$
   Площадь сечения

   5432 мм²

   Площадь 5432 мм². Обе оси главные центральные — считать положение центра тяжести не нужно.

2. 2

   Горизонтальная ось: простое удвоение

   Ось y проходит через центры тяжести обоих профилей. Расстояние от неё до каждого центра нулевое, значит переносных слагаемых нет, и моменты инерции складываются напрямую.

   Результат 36885200 мм⁴ — ровно вдвое больше табличного 18442600 мм⁴. И это важное ограничение: сколько бы вы ни раздвигали профили, момент инерции относительно горизонтальной оси останется прежним.

   $$I_y = 2 I_{y1}$$
   $$I_y = 2 \cdot 18442600 = 36885200\ \text{мм⁴}, \qquad \text{рост в } 2{,}00\ \text{раза}$$
   Момент инерции I_y

   36885200 мм⁴

   Момент сопротивления

   368852 мм³

   36885200 мм⁴, момент сопротивления 368852 мм³, радиус инерции 82,40 мм. Ровно две балки, работающие параллельно.

3. 3

   Вертикальная ось: работает разнос

   Здесь центры тяжести профилей отстоят от оси z на 100,0 мм, и каждый приносит переносное слагаемое 27160000 мм⁴ — площадь на квадрат плеча.

   Собственный момент инерции двутавра относительно своей вертикальной оси всего 1339100 мм⁴: у прокатного профиля металл разнесён по высоте, а не вширь. Против 27160000 мм⁴ это мелочь, и в итоговых 56998200 мм⁴ переносные слагаемые составляют 95,3 %.

   $$I_z = 2\left(I_{z1} + b^{2} F_1\right)$$
   $$I_z = 2\left(1339100 + 100{,}0^{2} \cdot 2716\right) = 2\left(1339100 + 27160000\right) = 56998200\ \text{мм⁴}$$
   Переносное слагаемое

   27160000 мм⁴

   Момент инерции I_z

   56998200 мм⁴

   Доля переносов

   95,3 %

   56998200 мм⁴ — рост против одиночного профиля в 42,6 раза. Почти всё это дал разнос, а не сам металл.

4. 4

   Радиусы инерции и что с этим делать

   Радиусы 82,40 мм и 102,44 мм: сечение получилось СИЛЬНЕЕ относительно вертикальной оси, чем относительно горизонтальной. Для одиночного двутавра всё наоборот, и это прямое следствие разноса.

   Для балки это безразлично — она изгибается в вертикальной плоскости, и работает 368852 мм³. А вот для сжатой стойки картина меняется: слабой стала горизонтальная ось, и расчётной гибкостью будет та, что посчитана по 82,40 мм.

   $$i = \sqrt{\frac{I}{F}}$$
   $$i_y = \sqrt{\frac{36885200}{5432}} = 82{,}40\ \text{мм}, \qquad i_z = \sqrt{\frac{56998200}{5432}} = 102{,}44\ \text{мм}$$
   Радиус i_y

   82,40 мм

   Радиус i_z

   102,44 мм

   82,40 мм и 102,44 мм. Раздвинув профили сильнее, вы уведёте перекос ещё дальше; для равножёсткого сечения расстояние надо, наоборот, уменьшить.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Сечения», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Сборник задач по сопротивлению материалов под ред. В. К. Качурина, разд. «Геометрические характеристики».

• Ждут прироста I_y от раздвижения профилей

  36885200 мм⁴ равен удвоенному 18442600 мм⁴ при ЛЮБОМ расстоянии между профилями: ось проходит через оба центра тяжести, переносить нечего. Раздвижение работает только на 56998200 мм⁴.

• Складывают табличные I_z без переносов

  Сумма собственных дала бы вдвое 1339100 мм⁴. Истинный 56998200 мм⁴ в двадцать с лишним раз больше — переносные слагаемые составляют 95,3 % величины.

• Считают два профиля эквивалентом одного вдвое большего

  Не эквивалент: у одиночного двутавра момент инерции растёт примерно как куб высоты, поэтому профиль вдвое большей площади даёт вчетверо больший 36885200 мм⁴, а спаривание — только вдвое.

• Забывают про связи между профилями

  Расчётный 56998200 мм⁴ получается только если профили работают как одно целое. Без планок или диафрагм каждый изгибается сам, и фактический момент инерции падает до удвоенного 1339100 мм⁴.