Момент инерции квадрата

1. 1

   Оси и площадь

   Отсчёт ведём от центра квадрата: ось y кладём параллельно нижней стороне, ось z — параллельно боковой. Все характеристики считаем относительно этой пары центральных осей — как и для любой фигуры, если не оговорено иное.

   Площадь очевидна, а центр тяжести лежит на пересечении диагоналей, то есть в 40 мм от каждой стороны.

   $$F = a^{2}$$
   $$F = 80^{2} = 6400\ \text{мм²}$$
   Площадь

   6400 мм²

   Центр от стороны

   40 мм

   Площадь 6400 мм², центр тяжести в 40 мм от любой стороны.

2. 2

   Момент инерции: один на все оси

   Подставив b = h = a в формулу прямоугольника, получаем a⁴/12. Одинаково относительно обеих осей — это ожидаемо из симметрии.

   Неожиданное начинается дальше. Поверните оси на любой угол: момент инерции не изменится. Такое бывает у фигур, у которых оба центральных момента равны, а центробежный равен нулю, — у квадрата и у круга. Практический смысл: квадратная стойка одинаково устойчива во всех направлениях, тогда как прямоугольная выгибается в слабой плоскости.

   $$I_y = I_z = \frac{a^{4}}{12}; \qquad I_{yz} = 0$$
   $$I = \frac{80^{4}}{12} = 3413333\ \text{мм⁴}; \qquad I_\rho = 2\,I = 6826667\ \text{мм⁴}$$
   Осевой момент инерции

   3413333 мм⁴

   Полярный момент

   6826667 мм⁴

   3413333 мм⁴ относительно любой центральной оси, полярный момент 6826667 мм⁴. Направление осей выбирать не нужно — все равноправны.

3. 3

   Момент сопротивления и радиус инерции

   Делим момент инерции на половину стороны — получаем a³/6. Здесь важна оговорка: это момент сопротивления относительно оси, параллельной стороне. Если изгибать квадрат «по диагонали», крайняя точка окажется дальше, и W уменьшится, хотя I останется прежним.

   Радиус инерции равен стороне, делённой на корень из двенадцати. Одинаков во всех направлениях — по той же причине, что и момент инерции.

   $$W = \frac{a^{3}}{6}; \qquad i = \frac{a}{\sqrt{12}}$$
   $$W = \frac{80^{3}}{6} = 85333\ \text{мм³}; \qquad i = 23{,}09\ \text{мм}$$
   Момент сопротивления

   85333 мм³

   Радиус инерции

   23,09 мм

   85333 мм³ и 23,09 мм. Обратите внимание: момент инерции от поворота осей не зависит, а момент сопротивления зависит — потому что в него входит расстояние до крайней точки контура.

4. 4

   Сравнение с кругом равной площади

   Полезное упражнение на понимание: возьмём круг той же площади и сравним жёсткость. Диаметр такого круга получается из равенства площадей.

   Квадрат выигрывает — у него углы вынесены дальше от центра, чем любая точка вписанного круга равной площади. Разница невелика, процентов пять, но она объясняет, почему квадратные трубы в конструкциях не редкость.

   $$d = \sqrt{\frac{4a^{2}}{\pi}}; \qquad I_{\text{кр}} = \frac{\pi d^{4}}{64}$$
   $$d = 90{,}3\ \text{мм}; \qquad I_{\text{кр}} = 3259493\ \text{мм⁴} \quad \text{против} \quad 3413333\ \text{мм⁴}$$
   Диаметр равновеликого круга

   90,3 мм

   Его момент инерции

   3259493 мм⁴

   Круг равной площади имеет диаметр 90,3 мм и момент инерции 3259493 мм⁴ — меньше, чем 3413333 мм⁴ у квадрата.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Сечения», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §3.4.

• Считают, что раз оси равноправны, то и W не меняется

  Момент инерции 3413333 мм⁴ действительно одинаков при любом повороте, а вот момент сопротивления нет: он зависит от расстояния до крайней точки контура, а у квадрата это то сторона, то диагональ.

• Берут знаменатель 3 вместо 12

  a⁴/3 — это момент инерции относительно стороны, а не центральной оси. Разница ровно вчетверо: 3413333 мм⁴ против того, что даст формула с тройкой.

• Думают, что квадрат всегда лучше круга

  По моменту инерции при равной площади — да, 3413333 мм⁴ против 3259493 мм⁴. Но у круга нет концентрации напряжений в углах, и в кручении он работает несравнимо лучше: элементарная теория кручения для квадрата вообще неприменима.

• Путают сторону и диагональ при подстановке

  В формулу идёт сторона 80 мм. Диагональ длиннее в корень из двух раз, и подстановка её вместо стороны завышает момент инерции вчетверо.