Почему при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна нагрузке

1. 1

   Главные оси сечения и начало отсчёта

   Ось y ведём горизонтально через центр тяжести — вокруг неё идёт обычный вертикальный изгиб, и от неё же отсчитываются все углы в разборе, начало отсчёта на самой оси. Ось z направим вверх, вдоль стенки двутавра.

   Моменты инерции относительно этих осей различаются в 15,9 раза: 18380000 мм⁴ против 1155000 мм⁴. Это отношение и решает всё дальнейшее — чем оно больше, тем опаснее перекос нагрузки.

   $$\sigma(y,z) = \frac{M_y z}{J_y} - \frac{M_z y}{J_z}$$
   $$J_y = 18380000\ \text{мм⁴}, \qquad J_z = 1155000\ \text{мм⁴}$$
   Отношение J_y/J_z

   15,9

   Сильная ось y, слабая z, отношение жёсткостей 15,9. Углы дальше — от оси y.

2. 2

   Разложение момента по главным осям

   Косой изгиб — это не отдельная теория, а сумма двух плоских. Момент раскладывается на составляющие вдоль главных осей, каждая работает по своей формуле, а напряжения в точке складываются алгебраически.

   Обратите внимание на масштаб: при перекосе всего в 10 ° на слабую ось приходится 3,47 кН·м — меньше шестой части полного момента. Казалось бы, мелочь.

   $$M_y = M\cos\alpha; \qquad M_z = M\sin\alpha$$
   $$M_y = 20\cos10^\circ = 19{,}70\ \text{кН·м}; \qquad M_z = 20\sin10^\circ = 3{,}47\ \text{кН·м}$$
   Вокруг сильной оси

   19,70 кН·м

   Вокруг слабой оси

   3,47 кН·м

   На сильную ось 19,70 кН·м, на слабую 3,47 кН·м. Дальше выяснится, что эта «мелочь» решает исход.

3. 3

   Нейтральная линия

   Нейтральная линия — след площадки, где напряжение обращается в ноль. При плоском изгибе она перпендикулярна плоскости нагрузки; при косом — нет, и это главное отличие, ради которого задачу и изучают.

   Линия поворачивается в сторону оси наименьшей жёсткости тем сильнее, чем больше отношение моментов инерции. Здесь вектор момента наклонён на 10 °, а нейтральная линия ушла на 70,4 ° — почти вдоль полки.

   $$\frac{M_y z}{J_y} = \frac{M_z y}{J_z} \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg}\theta = \frac{J_y M_z}{J_z M_y}$$
   $$\operatorname{tg}\theta = \frac{18380000 \cdot 3{,}47}{1155000 \cdot 19{,}70} \quad \Rightarrow \quad \theta = 70{,}4\ \text{°}$$
   Угол нейтральной линии

   70,4 °

   Нейтральная линия наклонена на 70,4 ° к оси y, тогда как вектор момента — всего на 10 °. Расхождение и есть косой изгиб.

4. 4

   Опасная точка и напряжения по углам

   Напряжение линейно по координатам, значит экстремум всегда в вершине контура — у двутавра это концы полок. Перебирать весь контур незачем, достаточно четырёх углов.

   Опасная точка — самая дальняя от нейтральной линии. Складываем вклады обоих моментов с их знаками: в верхнем левом углу оба растягивают, там и максимум.

   $$\sigma = \frac{M_y z}{J_y} - \frac{M_z y}{J_z}$$
   $$\sigma_B = 107{,}2\ \text{МПа} + 150{,}3\ \text{МПа} = 257{,}5\ \text{МПа}$$
   Наибольшее напряжение

   257,5 МПа

   При плоском изгибе

   108,8 МПа

   Рост

   2,37 раза

   По углам вышло −43,2 МПа, 257,5 МПа, 43,2 МПа и −257,5 МПа. Наибольшее 257,5 МПа — при плоском изгибе тем же моментом было бы 108,8 МПа, то есть рост в 2,37 раза.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Сложное сопротивление», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, гл. «Сложное сопротивление».

• Проводят нейтральную линию перпендикулярно нагрузке

  Так верно только при плоском изгибе. Здесь вектор момента наклонён на 10 °, а нейтральная линия — на 70,4 °, и опасная точка оказывается совсем не там, где её ищут.

• Считают напряжения по одному моменту сопротивления

  Момент сопротивления у сечения не один: для каждой оси свой. Складывать нужно два слагаемых с разными W, а не делить полный момент на W сильной оси.

• Пренебрегают малой составляющей

  На слабую ось приходится всего 3,47 кН·м против 19,70 кН·м, и её хочется отбросить. Но делится она на жёсткость в 15,9 раза меньшую — вклад выходит 150,3 МПа при 107,2 МПа от главной.

• Ищут опасную точку на середине полки

  Напряжение линейно по координатам, значит экстремум всегда в вершине контура. Проверять нужно четыре угла, а не середины граней.