Расчёт шпонки на смятие: проверка и подбор длины

1. 1

   Окружная сила на шпонке

   Ось x ведём по касательной к поверхности вала в точке, где стоит шпонка, начало отсчёта — на оси шпонки. Вдоль этой оси на её грань и действует сила: момент передаётся парой, плечо которой — радиус вала.

   Сила приложена у поверхности вала, а не на оси шпонки, но разница плеч в доли миллиметра расчёт не меняет, и в учебниках берут радиус d/2.

   $$F_t = \frac{2T}{d}$$
   $$F_t = \frac{2 \cdot 700 \cdot 10^3}{50} = 28\ \text{кН}$$
   Окружная сила

   28 кН

   На шпонку действует окружная сила 28 кН.

2. 2

   Рабочая длина и высота грани смятия

   У шпонки со скруглёнными торцами полукруглые концы прилегают к пазу не плоскостью, и в работе их не считают: рабочая длина равна полной без ширины шпонки. У шпонки с плоскими торцами работает вся длина.

   Ступица давит на ту часть грани, что выступает из паза вала. Её высота h − t₁: шпонка заглублена в вал на t₁, остальное — в ступице. Учебники пишут здесь и 0,5h, и 0,94h − t₁ с учётом фаски; числа выходят разные, и ниже это видно.

   $$l_р = l - b; \qquad k = h - t_1$$
   $$l_р = 74 - 14 = 60\ \text{мм}; \qquad k = 9 - 5{,}5 = 3{,}5\ \text{мм}$$
   Рабочая длина

   60 мм

   Высота грани смятия

   3,5 мм

   Рабочая длина 60 мм, высота грани смятия 3,5 мм.

3. 3

   Проверка на смятие и срез

   Смятие считают по площади грани, которая передаёт силу ступице: высота грани на рабочую длину. Срез — по продольному сечению шпонки на уровне поверхности вала: ширина на ту же длину.

   Для призматических шпонок решает почти всегда смятие: площадь грани в разы меньше площади среза, а допускаемые напряжения одного порядка. Поэтому стандартные шпонки на срез часто и не проверяют.

   $$\sigma_{см} = \frac{F_t}{k\, l_р}; \qquad \tau = \frac{F_t}{b\, l_р}$$
   $$\sigma_{см} = \frac{28 \cdot 10^3}{3{,}5 \cdot 60} = 133{,}3\ \text{МПа}; \qquad \tau = \frac{28 \cdot 10^3}{14 \cdot 60} = 33{,}3\ \text{МПа}$$
   Напряжение смятия

   133,3 МПа

   Напряжение среза

   33,3 МПа

   Напряжение смятия 133,3 МПа больше допускаемого 100 МПа — шпонка не проходит. Срез 33,3 МПа неопасен.

4. 4

   Подбор длины по ряду ГОСТ

   Сечение шпонки менять нельзя: ширину и высоту задаёт диаметр вала по ГОСТ 23360. Остаётся длина. Из условия смятия находят нужную рабочую длину, добавляют ширину на скруглённые концы и берут ближайшую большую длину из стандартного ряда.

   Если выходит длиннее полутора-двух диаметров вала, длинную шпонку не ставят: нагрузка по ней распределяется неравномерно. Ставят две шпонки под 180° или переходят на шлицы.

   $$l_р \ge \frac{F_t}{k\,[\sigma_{см}]}; \qquad l = l_р + b \to \text{ряд ГОСТ}$$
   $$l_р \ge \frac{28 \cdot 10^3}{3{,}5 \cdot 100} = 80\ \text{мм}; \quad l = 80 + 14 = 94 \to 100\ \text{мм}$$
   Длина по ГОСТ

   100 мм

   Смятие при принятой длине

   93,0 МПа

   Принимаем шпонку длиной 100 мм: напряжение смятия падает до 93,0 МПа, и условие выполнено.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Соединения», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Иванов М. Н. Детали машин, гл. «Шпоночные соединения»; ГОСТ 23360-78.

• Считают по полной длине шпонки

  Скруглённые концы не работают. Здесь рабочая длина 60 мм, а не 74 мм, и напряжение по полной длине вышло бы заниженным — шпонка «прошла» бы.

• Берут в смятие всю высоту шпонки

  Ступица давит только на ту часть грани, что выступает из паза вала: 3,5 мм, а не 9 мм. Полная высота занизила бы смятие в два с половиной раза.

• Забывают перевести момент

  Момент обычно дан в Н·м, диаметр — в мм. Без перевода в Н·мм окружная сила выходит в тысячу раз меньше, и шпонка с запасом проходит при любой длине.

• Увеличивают сечение шпонки вместо длины

  Ширина и высота жёстко привязаны к диаметру вала стандартом, менять их нельзя — паз под другую шпонку в этот вал не прорежешь. Подбирается только длина: здесь 100 мм по ряду.