Уравнение трёх моментов

Коротко. Уравнение трёх моментов связывает опорные моменты трёх соседних опор неразрезной балки. Его пишут для каждой промежуточной опоры, решают систему и получают опорные моменты, а по ним — реакции и эпюры. Это метод сил с шарнирами, врезанными над опорами.

Неразрезная балка лежит на трёх и более опорах и один или несколько раз статически неопределима. Метод сил к ней применим в любой форме, но есть основная система, при которой уравнения получаются особенно простыми: шарниры врезают над каждой промежуточной опорой.

Балка распадается на однопролётные, а лишними неизвестными становятся опорные моменты. Каждое каноническое уравнение при этом содержит всего три соседних момента — отсюда название. Вывел его Клапейрон, и для многопролётных балок это до сих пор самый короткий путь.

Формула

Уравнение записывают для каждой промежуточной опоры i. Слева — опорные моменты этой опоры и двух соседних, умноженные на длины примыкающих пролётов; справа — грузовой член от нагрузки на этих двух пролётах.

ω — площадь эпюры моментов от нагрузки в пролёте как в простой двухопорной балке; a и b — расстояния от её центра тяжести до левой и правой опоры пролёта. Произведения ω·a/l и ω·b/l — это фиктивные реакции, и для типовых нагрузок они табличные.

Уравнение трёх моментов (EJ = const)

M_{i-1} l_i + 2 M_i \left(l_i + l_{i+1}\right) + M_{i+1} l_{i+1} = -6\left(\frac{\omega_i a_i}{l_i} + \frac{\omega_{i+1} b_{i+1}}{l_{i+1}}\right)

Равномерная нагрузка q на пролёте l

\omega = \frac{2}{3}\cdot\frac{q l^{2}}{8}\cdot l = \frac{q l^{3}}{12}, \qquad a = b = \frac{l}{2}

Откуда оно берётся

Это каноническое уравнение метода сил: взаимный угол поворота сечений слева и справа от врезанного шарнира в действительной балке равен нулю — балка над опорой не переломлена.

Единичный момент над опорой i даёт эпюру только в двух соседних пролётах. Поэтому в уравнение попадают лишь три момента, а матрица системы выходит трёхдиагональной: для десяти пролётов решается так же быстро, как для двух.

Каноническое уравнение для опоры i

\delta_{i,i-1} M_{i-1} + \delta_{ii} M_i + \delta_{i,i+1} M_{i+1} + \Delta_{iP} = 0

Порядок расчёта

Пронумеровать опоры и пролёты. На крайних шарнирных опорах моменты равны нулю; заделку заменяют дополнительным пролётом нулевой длины, консоль — известным моментом от её нагрузки.

Для каждой промежуточной опоры записать уравнение, подставить фиктивные реакции и решить систему. Затем найти реакции: в каждом пролёте к реакции простой балки добавляется разность опорных моментов, делённая на длину пролёта.

Эпюра моментов — сумма эпюры простых балок и ломаной по опорным моментам. Проверка — сумма реакций равна полной нагрузке.

Реакция опоры

R_i = R_i^{0} + \frac{M_{i-1} - M_i}{l_i} + \frac{M_{i+1} - M_i}{l_{i+1}}

На числах

Два пролёта по 6 м, нагрузка 12 кН/м только на левом. Крайние моменты равны нулю, уравнение одно — для средней опоры B: 4l·M = −ql³/4, откуда момент над ней M = −ql²/16. По числам примера это −27,00 кН·м; метод сил в разборе даёт тот же опорный момент −27,000 кН·м, а реакция правой опоры M/l выходит −4,500 кН.

Пролёт

6 м

Нагрузка на левом пролёте

12 кН/м

Момент над опорой B, −ql²/16

−27,00 кН·м

Он же из итоговой эпюры

−27,000 кН·м

Реакция правой опоры

−4,500 кН

Итоговая эпюра моментов неразрезной балки

Весь разбор целиком: Как посчитать неразрезную балку из двух пролётов →

Где обычно ошибаются

Путают a и b в грузовом члене
Для левого пролёта опоры i берут расстояние a от центра тяжести эпюры до ЛЕВОЙ опоры пролёта, для правого — b до ПРАВОЙ. При несимметричной нагрузке перепутанные a и b дают неверный момент.
Ставят момент на крайней шарнирной опоре
На крайней шарнирной опоре без консоли момент равен нулю — это не неизвестная. Консоль даёт известный момент, а не новое уравнение.
Забывают минус в правой части
Опорные моменты неразрезной балки под нагрузкой вниз отрицательны (растянут верх). Без минуса справа получится тот же модуль с обратным знаком, и эпюра ляжет не на ту сторону.
Применяют формулу при разной жёсткости пролётов
Запись выше — для EJ = const. Если пролёты разного сечения, длины заменяют приведёнными l·EJ₀/EJ, иначе моменты выйдут неверными.

Частые вопросы

Чем уравнение трёх моментов отличается от метода сил?

Ничем по сути: это метод сил с особой основной системой — шарнирами над опорами. Выбор делает уравнения короткими, а систему трёхдиагональной.

Как быть с заделкой на краю?

Заделку заменяют фиктивным пролётом нулевой длины за ней: тогда момент в заделке становится обычной неизвестной, а уравнение для неё пишется так же, как для промежуточной опоры.

Можно ли посчитать неразрезную балку онлайн?

Да: калькулятор балок раскрывает лишние опоры методом сил и строит эпюры Q и M с ходом решения — при одинаковой жёсткости EJ.

Расчёт статически неопределимой балки онлайн →

Непонятно? Спросите Репетитора

Объяснит простыми словами, но по учебникам — и покажет, из какой книги ответ. Ничего от себя: если в книгах этого нет, так и скажет. Нажмите вопрос — он откроется в чате.

Объясни простыми словами: уравнение трёх моментов Чем уравнение трёх моментов отличается от метода сил?Как быть с заделкой на краю?Можно ли посчитать неразрезную балку онлайн?

Как работает Репетитор по сопромату