Как раскрыть неопределимость балки с заделкой и опорой

1. 1

   Ось z и степень статической неопределимости

   Ось z ведём от заделки вправо вдоль балки, начало отсчёта — в самой заделке. Обозначение сохраняется до конца разбора: и в грузовом состоянии, и в единичном, и в итоговых эпюрах.

   Считаем связи. Жёсткая заделка даёт три, шарнирно-подвижная опора одну — всего 4 при трёх уравнениях равновесия. Разность и есть степень неопределимости.

   $$s = n_{\text{связей}} - 3$$
   $$s = 4 - 3 = 1$$
   Степень неопределимости

   1

   Система 1 раз статически неопределима. Значит понадобится одно дополнительное уравнение и один лишний неизвестный.

2. 2

   Основная система и эквивалентная

   Отбрасываем лишнюю связь — вертикальную связь правой опоры. Остаётся консоль, защемлённая слева: она статически определима, и считать её мы умеем.

   Взамен отброшенной связи прикладываем неизвестную силу X₁ в том же месте и в том же направлении. Такая система называется эквивалентной: она ведёт себя точно как исходная, если X₁ подобрать правильно.

   Выбор отбрасываемой связи — дело вкуса, лишь бы основная система осталась геометрически неизменяемой. Можно было отбросить заделочный момент; ответ вышел бы тот же, а арифметика другая.

   $$\text{Основная система} + X_1 = \text{Эквивалентная система}$$
   $$X_1 = R_{B}\ \text{— реакция отброшенной опоры}$$

   Основная система — консоль пролётом 6 м. Лишнее неизвестное X₁ — вертикальная реакция правой опоры.

3. 3

   Грузовое и единичное состояния

   Грузовое состояние: основная система под заданной нагрузкой, без X₁. Консоль под равномерной нагрузкой даёт параболическую эпюру M_P с максимумом ql²/2 в заделке.

   Единичное состояние: та же основная система, нагруженная только силой X₁ = 1 в направлении отброшенной связи. Эпюра M̄₁ — треугольник с ординатой l в заделке.

   Обе эпюры строятся элементарно, потому что основная система определима. Это и есть главный приём метода: свести неизвестное к двум простым задачам.

   $$M_P(z) = -\frac{q (l-z)^{2}}{2}; \qquad \bar{M}_1(z) = (l - z)$$
   $$M_P(0) = -\frac{12 \cdot 6^{2}}{2}; \qquad \bar{M}_1(0) = 6$$

   Две эпюры на одной и той же консоли: параболическая от нагрузки и треугольная от единичной силы. Дальше их перемножим.

4. 4

   Коэффициенты канонического уравнения

   Перемещение по направлению отброшенной связи складывается из двух частей: от нагрузки и от единичной силы, умноженной на X₁. Обозначают их δ1P и δ11, и обе считают перемножением эпюр.

   δ11 — это единичная эпюра, перемноженная сама на себя; она всегда положительна. δ1P — единичная на грузовую; её знак говорит, куда прогнётся основная система под нагрузкой.

   $$\delta_{11} = \int \frac{\bar{M}_1^{2}}{EJ}\,dz; \qquad \delta_{1P} = \int \frac{\bar{M}_1 M_P}{EJ}\,dz$$
   $$\delta_{11} \cdot EJ = 72{,}000; \qquad \delta_{1P} \cdot EJ = -1944{,}000$$
   δ₁₁ · EJ

   72,000

   δ₁P · EJ

   −1944,000

   72,000 и −1944,000 — оба в долях EJ, которая дальше сократится. Отрицательный δ1P означает, что конец консоли под нагрузкой уходит вниз, а мы считаем X₁ направленной вверх.

5. 5

   Каноническое уравнение и X₁

   Смысл уравнения физический, а не формальный: в исходной системе опора никуда не смещается, значит суммарное перемещение по направлению отброшенной связи равно нулю.

   Отсюда X₁ находится делением. Жёсткость EJ входит в оба коэффициента одинаково и сокращается — для однородной балки результат от неё не зависит вовсе.

   $$\delta_{11} X_1 + \delta_{1P} = 0 \;\Rightarrow\; X_1 = -\frac{\delta_{1P}}{\delta_{11}}$$
   $$X_1 = -\frac{-1944{,}000}{72{,}000} = 27{,}000\ \text{кН}$$
   Лишнее неизвестное

   27,000 кН

   Реакция правой опоры

   27,000 кН

   27,000 кН — и это в точности реакция правой опоры 27,000 кН. Справочная формула 3ql/8 даёт 27,00 кН: сошлось.

6. 6

   Итоговые эпюры и деформационная проверка

   Итоговая эпюра моментов собирается сложением: грузовая плюс единичная, умноженная на найденное X₁. Остальные реакции досчитываются обычным равновесием.

   Проверка метода сил — не подстановка в равновесие, оно выполнено по построению. Проверяют деформацию: итоговую эпюру перемножают с единичной, и результат обязан быть нулём. Это независимый контроль всей арифметики.

   $$M = M_P + \bar{M}_1 X_1; \qquad \int \frac{M \bar{M}_1}{EJ}\,dz = 0$$
   $$M_A = 54{,}000\ \text{кН·м}; \quad R_{Ay} = 45{,}000\ \text{кН}; \quad R_{By} = 27{,}000\ \text{кН}; \qquad \text{невязка} = 0{,}000000$$
   Момент в заделке

   54,000 кН·м

   Реакция заделки

   45,000 кН

   Невязка проверки

   0,000000

   Момент в заделке 54,000 кН·м — справочное ql²/8 даёт 54,00 кН·м, совпало. Реакции 45,000 кН и 27,000 кН. Деформационная проверка дала 0,000000.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Метод сил», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Дарков А. В. Строительная механика, гл. 6.

• Отбрасывают связь так, что система становится механизмом

  Основная система обязана остаться геометрически неизменяемой. Отбросив горизонтальную связь заделки вместо вертикальной опоры, получили бы балку, свободно уезжающую вбок.

• Считают δ11 с учётом заданной нагрузки

  δ11 — перемещение от единичной силы, и только от неё. Внешняя нагрузка живёт исключительно в δ1P. Смешав их, получите вместо 72,000 что угодно.

• Теряют знак δ1P

  Здесь −1944,000 отрицателен, и именно поэтому X₁ вышло положительным. Потеряв минус, вы направите реакцию опоры вниз — и балка «повиснет» на подвижной опоре.

• Проверяют результат равновесием

  Равновесие в методе сил выполняется автоматически и ошибку в δ не поймает. Настоящая проверка — деформационная, здесь она дала 0,000000.