Двухпролётная неразрезная балка

1. 1

   Отсчёт и лишняя связь

   Начало отсчёта — левая опора, ось z направлена вправо вдоль балки; правый конец, стало быть, при z = 12 м. Опоры пронумерованы A, B и C слева направо.

   Связей 4: две у шарнирно-неподвижной опоры и по одной у двух подвижных. Уравнений три, значит система 1 раз неопределима.

   За лишнюю связь берём вертикальную связь крайней правой опоры. Основной системой становится однопролётная балка с консолью — статически определимая и совершенно привычная.

   $$s = \num{svyazi} - 3 = \val{stepen}$$
   $$X_1 = R_C\ \text{— реакция крайней правой опоры}$$
   Степень неопределимости

   1

   Одна лишняя связь, одно каноническое уравнение. Основная система — балка A–B с консолью до C.

2. 2

   Перемножение эпюр

   Грузовая эпюра строится на основной системе от нагрузки 12 кН/м на левом пролёте; консоль при этом не нагружена и остаётся прямой. Единичная — от силы 1 в точке C.

   Перемножаем по Верещагину: площадь одной эпюры на ординату другой под центром тяжести первой. Оба коэффициента выходят положительными.

   $$\delta_{11} = \int \frac{\bar{M}_1^{2}}{EJ}\,dz; \qquad \delta_{1P} = \int \frac{\bar{M}_1 M_P}{EJ}\,dz$$
   $$\delta_{11} \cdot EJ = 144{,}000; \qquad \delta_{1P} \cdot EJ = 648{,}000$$
   δ₁₁ · EJ

   144,000

   δ₁P · EJ

   648,000

   144,000 и 648,000. Положительный δ1P здесь означает, что под нагрузкой точка C в основной системе поднимается вверх — консоль работает как рычаг.

3. 3

   Решение уравнения: реакция ушла в минус

   Оба коэффициента положительны, значит X₁ получится отрицательным. Физически это означает, что опора C не подпирает балку снизу, а тянет её вниз.

   Так и есть: нагрузка на левом пролёте перегибает балку через среднюю опору и приподнимает правый конец. Чтобы удержать его на месте, опора должна тянуть. В реальной конструкции это значит, что крайняя опора работает на отрыв и её надо анкерить.

   $$X_1 = -\frac{\delta_{1P}}{\delta_{11}}$$
   $$X_1 = -\frac{648{,}000}{144{,}000} = -4{,}500\ \text{кН}$$
   Лишнее неизвестное

   −4,500 кН

   −4,500 кН — отрицательная реакция. Не ошибка расчёта, а особенность несимметричного загружения неразрезной балки.

4. 4

   Итоговые реакции

   Остальные реакции досчитываются равновесием эквивалентной системы, где X₁ уже известна. Сумма всех трёх обязана равняться полной нагрузке 12 кН/м на длине 6 м.

   Средняя опора берёт на себя больше, чем весь загруженный пролёт весит на одну опору: соседний пролёт через неё же и уравновешивается.

   $$R_A + R_B + R_C = q l$$
   $$31{,}500\ \text{кН} + 45{,}000\ \text{кН} + -4{,}500\ \text{кН} = 12 \cdot 6$$
   Левая опора

   31,500 кН

   Средняя опора

   45,000 кН

   Правая опора

   −4,500 кН

   31,500 кН, 45,000 кН и −4,500 кН. Средняя опора нагружена сильнее, чем была бы в разрезной схеме: там на неё приходилось бы 36,00 кН.

5. 5

   Что дала неразрезность

   Сравним с разрезной балкой того же пролёта под той же нагрузкой. Там момент в пролёте был бы 54,00 кН·м, а над опорой ноль.

   Здесь пролётный момент упал до 41,344 кН·м, зато над средней опорой появился отрицательный. Это и есть смысл неразрезности: часть момента переехала с пролёта на опору, где балку проще усилить.

   $$M = M_P + \bar{M}_1 X_1$$
   $$M_{max} = 41{,}344\ \text{кН·м}\ \text{при}\ z = 2{,}625\ \text{м}; \qquad \text{невязка} = 0{,}000000$$
   Наибольший момент

   41,344 кН·м

   Опасное сечение

   2,625 м

   Наибольший пролётный момент 41,344 кН·м на расстоянии 2,625 м от левой опоры — против 54,00 кН·м у разрезной балки. Деформационная проверка: 0,000000.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Метод сил», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Дарков А. В. Строительная механика, гл. 6, §6.7.

• Принимают отрицательную реакцию за ошибку и меняют знак

  −4,500 кН отрицательна по существу дела: правый конец приподнимается, и опора его удерживает. Исправив знак «для красоты», вы нарушите равновесие.

• Считают ненагруженный пролёт ненапряжённым

  Через среднюю опору момент передаётся и в правый пролёт: он изогнут, хотя нагрузки на нём нет. Именно это отличает неразрезную балку от двух разрезных.

• Врезают шарнир так, что балка распадается

  Основная система обязана остаться неизменяемой. Отбросив вертикальную связь СРЕДНЕЙ опоры вместо крайней, вы получите правильную схему; отбросив две — механизм.

• Сравнивают пролётный момент с разрезной балкой, забыв про опорный

  Пролётный упал с 54,00 кН·м до 41,344 кН·м, но над средней опорой появился отрицательный. Экономия есть, но эпюру надо смотреть целиком.