Рама с сосредоточенным моментом

1. 1

   Реакции: момент уравновешивает пара

   Ось x направлена вправо, ось y вверх, начало отсчёта — в левой опоре. Сумма проекций на x состоит из одной горизонтальной реакции и обращает её в ноль сразу: 0,00 кН. Момент в проекции не участвует, добавить ему нечего.

   Составляем сумму моментов относительно левой опоры. В неё входят приложенный 40 кН·м и вертикальная реакция правой опоры на плече 6 м. Из одного уравнения находим обе вертикальные реакции: они равны по модулю и противоположны по знаку.

   $$\sum M_A = 0: \quad M_0 + R_{Dy} \cdot l = 0$$
   $$R_{Dy} = -\frac{40}{6} = -6{,}67\ \text{кН}, \qquad R_{Ay} = -R_{Dy} = 6{,}67\ \text{кН}$$
   Реакция левой опоры

   6,67 кН

   Реакция правой опоры

   −6,67 кН

   Левая опора давит вверх с силой 6,67 кН, правая тянет вниз −6,67 кН. Это и есть пара: их равнодействующая нулевая, а момент равен 40 кН·м.

2. 2

   Стойки остаются пустыми

   Вырежем нижнюю часть левой стойки. К ней приложены только вертикальная реакция 6,67 кН и продольная сила в сечении. Горизонтальных сил нет вовсе, значит поперечная сила в стойке нулевая, а раз Q = 0, то и момент по всей высоте постоянен.

   Постоянен и равен нулю: у шарнирной опоры момент не воспринимается. Обе стойки работают чисто продольно — левая сжата −6,667 кН, правая растянута ровно настолько же.

   $$Q_{\text{стойка}} = 0 \;\Rightarrow\; M = \mathrm{const} = M_{\text{опоры}} = 0$$
   $$M_{\text{верх левой стойки}} = 0{,}00\ \text{кН·м}, \qquad N_{\text{левой}} = -6{,}667\ \text{кН}$$
   Продольная сила стойки

   −6,667 кН

   На эпюре M обе стойки пустые. Продольные силы −6,667 кН и противоположная ей в правой стойке — та самая пара реакций, поднявшаяся по стойкам от опор к ригелю.

3. 3

   Скачок момента в узле

   На верх стойки момент приходит нулевым. К узлу приложен внешний момент 40 кН·м — и вот тут эпюра делает скачок: с нуля на стороне стойки до −40,00 кН·м на стороне ригеля. Величина скачка равна приложенному моменту, это его главный признак.

   Проверить узел просто: вырезаем его и суммируем моменты. Ноль со стороны стойки плюс внешний 40 кН·м плюс момент со стороны ригеля должны дать ноль. Сходится — переход через узел сделан верно.

   $$\sum M_{\text{узла}} = 0: \quad M_{\text{стойки}} + M_0 + M_{\text{ригеля}} = 0$$
   $$0{,}00\ \text{кН·м} + 40\ \text{кН·м} + \left(-40{,}00\ \text{кН·м}\right) = 0$$
   Момент на ригеле у узла

   −40,00 кН·м

   Ригель принимает на себя весь момент: −40,00 кН·м у левого конца. Знак отрицательный — растянуты верхние волокна ригеля.

4. 4

   Ригель: прямая до нуля

   Поперечных нагрузок на ригеле нет, поэтому поперечная сила на нём постоянна и равна 6,667 кН — той самой паре, что мы нашли из реакций. Постоянная Q означает линейную эпюру моментов.

   От −40,00 кН·м у левого конца момент идёт по прямой и обращается в 0,00 кН·м у правого узла. Там его снова принимает стойка — точнее, не принимает: правая стойка тоже пустая, и момент обязан прийти к ней нулевым.

   $$\frac{dM}{dz} = Q = \mathrm{const} \;\Rightarrow\; M(z) \ \text{линейна}$$
   $$M(0) = -40{,}00\ \text{кН·м}, \qquad M(6) = 0{,}00\ \text{кН·м}, \qquad Q = 6{,}667\ \text{кН}$$
   Поперечная сила ригеля

   6,667 кН

   Наибольший момент

   40,00 кН·м

   Эпюра M на ригеле — наклонная прямая от −40,00 кН·м до нуля. Наибольший по модулю момент 40,00 кН·м стоит в левом узле, он же опасное сечение.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Рамы», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Дарков А. В. Строительная механика, гл. 3.

• Вписывают момент в сумму проекций

  В ΣX и ΣY сосредоточенный момент не входит НИКОГДА: у пары сил равнодействующая нулевая. Он появляется только в ΣM, зато относительно любой точки с одним и тем же значением 40 кН·м.

• Делят момент между стержнями поровну

  «По половинке в каждый» — выдумка. Здесь весь 40 кН·м принял ригель, а стойки остались пустыми, потому что шарнирные опоры не дают им воспринять момент. Распределение решает схема, а не симметрия.

• Рисуют скачок на эпюре Q

  Момент меняет только эпюру M. Поперечная сила на ригеле постоянна и равна 6,667 кН по всей длине, включая точку приложения момента.

• Забывают, что реакции противоположны по знаку

  Внешних вертикальных сил нет, поэтому ΣY = 0 требует 6,67 кН и −6,67 кН равных по модулю и разных по знаку. Две одинаковые по направлению реакции означали бы, что рама куда-то улетает.