Рама под горизонтальной силой

1. 1

   Оси и горизонтальное равновесие

   Оси прежние: ось x вправо, ось y вверх, начало отсчёта в левой опоре. Местная координата z у стоек идёт снизу вверх, у ригеля слева направо.

   Горизонтальную силу может воспринять только шарнирно-неподвижная опора: у подвижной горизонтальной связи нет. Значит всё 20 кН уходит в левую опору целиком, независимо от того, где сила приложена.

   $$\sum X = 0: \quad R_{Ax} + F = 0$$
   $$R_{Ax} = -20 = -20{,}00\ \text{кН}$$
   Горизонтальная реакция

   −20,00 кН

   −20,00 кН — знак минус означает, что опора отталкивает раму влево, уравновешивая силу, направленную вправо.

2. 2

   Вертикальные реакции: симметрия сломалась

   Горизонтальная сила приложена на высоте 3 м и относительно опор создаёт момент. Уравновесить его может только пара вертикальных реакций — одна вырастет, другая упадёт.

   Записываем моменты относительно правой опоры. Вклад распределённой нагрузки прежний, к нему добавляется момент силы 20 кН на её плече 3 м.

   $$\sum M_D = 0: \quad R_{Ay} l - \frac{q l^{2}}{2} - F h = 0$$
   $$R_{Ay} = 20{,}00\ \text{кН}; \qquad R_{Dy} = 40{,}00\ \text{кН}$$
   Левая реакция

   20,00 кН

   Правая реакция

   40,00 кН

   20,00 кН слева против 40,00 кН справа — разница ровно вдвое. Одна горизонтальная сила перераспределила вертикальную нагрузку.

3. 3

   Левая стойка изгибается

   Теперь в стойке есть поперечная сила: горизонтальная реакция −20,00 кН действует поперёк её оси. А раз есть Q, момент по высоте нарастает линейно.

   У опоры момент нулевой — шарнир, — а к верхнему узлу набирается произведение силы на высоту. Правая стойка при этом остаётся ненагруженной поперёк, и момент в ней по-прежнему нулевой.

   $$M_{\text{стойка}}(z) = R_{Ax} z; \qquad M_B = F h$$
   $$M_B = 20 \cdot 3 = 60{,}00\ \text{кН·м}; \qquad M_C = 0{,}00\ \text{кН·м}$$
   Момент в левом узле

   60,00 кН·м

   Момент в правом узле

   0,00 кН·м

   В левом узле 60,00 кН·м, в правом 0,00 кН·м. Эпюра на левой стойке — треугольник, на правой пусто.

4. 4

   Ригель: балка с моментом на конце

   Через жёсткий узел момент 60,00 кН·м целиком переходит на ригель. Дальше ригель работает как балка, у которой на левом конце приложен момент, а сверху лежит равномерная нагрузка.

   Складываются две эпюры: линейно спадающая от 60,00 кН·м до нуля и параболическая от нагрузки. Максимум суммы смещается влево от середины — туда, где итоговая поперечная сила проходит через ноль.

   $$M(z) = M_B \left(1 - \frac{z}{l}\right) + \frac{q z (l - z)}{2}$$
   $$M_{max} = 80{,}00\ \text{кН·м}\ \text{при}\ z = 2{,}00\ \text{м}$$
   Наибольший момент

   80,00 кН·м

   Где он достигается

   2,00 м

   Наибольший момент 80,00 кН·м на расстоянии 2,00 м от левого узла. Без горизонтальной силы было бы 45 кН·м ровно посередине — прибавка ощутимая.

5. 5

   Продольные силы в стойках

   Каждая стойка сжата своей опорной реакцией. Раз реакции разошлись, разошлись и сжимающие силы: правая стойка нагружена вдвое сильнее левой.

   Это практический вывод, а не арифметическое наблюдение: подветренная стойка рамы всегда нагружена больше наветренной, и проектируют их либо по худшей, либо по-разному.

   $$N_{\text{левая}} = -R_{Ay}, \qquad N_{\text{правая}} = -R_{Dy}$$
   $$N_{\text{левая}} = -20{,}00\ \text{кН}; \qquad N_{\text{правая}} = -40{,}00\ \text{кН}$$
   Сжатие левой стойки

   −20,00 кН

   Сжатие правой стойки

   −40,00 кН

   −20,00 кН и −40,00 кН. При этом изогнута левая, а сжата сильнее правая — проверять надо обе.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Рамы», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Дарков А. В. Строительная механика, гл. 3.

• Делят горизонтальную силу между обеими опорами

  У подвижной опоры горизонтальной связи нет — она передаёт только вертикаль. Вся сила уходит в неподвижную: −20,00 кН.

• Оставляют вертикальные реакции равными

  Горизонтальная сила создаёт момент относительно опор, и его уравновешивает пара вертикальных реакций. 20,00 кН и 40,00 кН различаются вдвое — равенство здесь было бы ошибкой в равновесии.

• Ищут максимум момента в середине ригеля

  Момент с левого узла перекашивает эпюру, и максимум 80,00 кН·м смещается к 2,00 м. Искать его надо там, где итоговая поперечная сила обращается в ноль, а не по симметрии.

• Прикладывают момент от силы F только к стойке

  Узел жёсткий: 60,00 кН·м проходит и на ригель. Оборвав эпюру на узле, вы разорвёте её там, где никакого внешнего момента не приложено.

• Проверяют на сжатие только изогнутую стойку

  Изогнута левая, а сжата сильнее правая: −40,00 кН против −20,00 кН. Опасное сочетание усилий у них разное, и смотреть надо обе.