Двухопорная балка с силой посередине

1. 1

   Ось, опоры и реакции

   Ось z ведём от левой опоры вправо: z = 0 — опора A, z = 6 м — опора B. Эта координата единственная в разборе, и по ней же подписаны эпюры.

   Опора A шарнирно-неподвижная, B — шарнирно-подвижная: вместе три связи, ровно столько, сколько уравнений даёт статика. Горизонтальных сил нет, поэтому продольная реакция нулевая, а вертикальные ищем из суммы моментов относительно каждой опоры по очереди — так каждая реакция находится своим уравнением, без подстановок.

   $$\sum M_B = 0 \;\Rightarrow\; R_A = \frac{F}{2}; \qquad \sum M_A = 0 \;\Rightarrow\; R_B = \frac{F}{2}$$
   $$R_A = \frac{20}{2} = 10\ \text{кН}; \qquad R_B = \frac{20}{2} = 10\ \text{кН}$$
   Реакция опоры A

   10 кН

   Реакция опоры B

   10 кН

   По 10 кН на опору. Проверка суммой проекций: 10 кН плюс 10 кН равно грузу 20 кН — сходится.

2. 2

   Поперечная сила и скачок под грузом

   Груз делит балку на два участка, и на каждом Q постоянна: распределённой нагрузки нет. Слева от груза в сумму входит только реакция A, справа к ней добавляется сам груз, направленный вниз, — и сумма меняет знак.

   Разница между значениями по обе стороны равна 20 кН, то есть в точности величине силы. Это общее правило: сосредоточенная сила даёт на эпюре Q скачок на свою величину, и по высоте ступеньки силу можно прочитать прямо с чертежа.

   $$Q_{\text{лев}} = R_A; \qquad Q_{\text{прав}} = R_A - F$$
   $$Q(3\ \text{м}^{-}) = 10\ \text{кН}; \qquad Q(3\ \text{м}^{+}) = -10\ \text{кН}; \qquad \Delta Q = 20\ \text{кН}$$
   Q слева от груза

   10 кН

   Q справа от груза

   −10 кН

   Две горизонтальные полки, 10 кН и −10 кН, со ступенькой 20 кН посередине. Эпюра кососимметрична — обычное дело для симметричной схемы.

3. 3

   Изгибающий момент и его максимум

   На левом участке слева от сечения только реакция A с плечом z — момент растёт линейно. На правом участке добавляется груз, наклон меняет знак, и прямая идёт вниз. Излом ровно под силой: производная M равна Q, а Q там скачком меняет знак.

   Максимум там же, где Q переходит через ноль. Здесь она не проходит через ноль плавно, а перескакивает его — и точка перескока и есть точка максимума.

   $$M(z) = R_A\,z \;\; (0 \le z \le l/2); \qquad M_{\max} = \frac{F\,l}{4}$$
   $$M(3\ \text{м}) = 10 \cdot 3 = 30\ \text{кН·м}; \qquad M(0) = M(6\ \text{м}) = 0\ \text{кН·м}$$
   Максимальный момент

   30 кН·м

   M на опорах

   0 кН·м

   Треугольник с вершиной 30 кН·м под грузом и нулями на шарнирных опорах. Формулу Fl/4 стоит запомнить: она встречается в задачах и справочниках чаще любой другой.

4. 4

   Опасное сечение

   Наибольший момент — в середине пролёта, наибольшая поперечная сила — у опор. Разные места, и в общем случае проверять надо оба: нормальные напряжения по моменту, касательные по силе.

   Для обычных прокатных балок решает момент: касательные напряжения у них с большим запасом. Проверять сдвиг всерьёз приходится у коротких балок и у сварных двутавров с тонкой стенкой.

   Расчётный момент

   30 кН·м

   Наибольшая Q

   10 кН

   Опасное сечение — середина пролёта, z = 3 м. Расчётный момент 30 кН·м, наибольшая поперечная сила 10 кН у опор.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Балки», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §4.1.

• Пишут момент как F·l/2

  Плечо у реакции — половина пролёта, и сама реакция тоже половина силы. Перемножаются обе половины, получается четверть: 30 кН·м, а не вдвое больше.

• Проводят эпюру Q через ноль плавно

  Под сосредоточенной силой Q не проходит через ноль, а прыгает: с 10 кН на −10 кН. Плавный переход бывает только под распределённой нагрузкой.

• Скругляют вершину эпюры M

  Под силой у момента излом, а не гладкий максимум: слева и справа прямые с разным наклоном. Парабола с закруглением появилась бы, будь нагрузка распределённой.

• Дают шарнирной опоре момент

  Шарнир поворот не сдерживает, поэтому на крайних опорах M = 0 кН·м. Если у вас там ненулевое значение, вероятно, в сумму попал лишний член или перепутано плечо.