Двухопорная балка с силой в произвольной точке

1. 1

   Ось и правило рычага для реакций

   Ось z ведём от левой опоры A вправо: z = 0 — опора A, z = 6 м — опора B, груз стоит в точке z = 2 м. Начало отсчёта на этом зафиксировано, другой координаты в разборе не будет.

   Реакции ищем моментными уравнениями, каждое относительно «чужой» опоры: тогда в уравнении остаётся одна неизвестная. Получается правило рычага — каждая опора берёт долю груза, пропорциональную расстоянию до противоположной опоры. Ближняя к грузу опора нагружена сильнее, и это согласуется с житейским опытом переноски тяжёлого предмета вдвоём.

   $$R_A = \frac{F\,b}{l}; \qquad R_B = \frac{F\,a}{l}$$
   $$R_A = \frac{18 \cdot 4}{6} = 12\ \text{кН}; \qquad R_B = \frac{18 \cdot 2}{6} = 6\ \text{кН}$$
   Реакция A

   12 кН

   Реакция B

   6 кН

   Ближняя опора A взяла 12 кН, дальняя B — 6 кН: вдвое меньше, потому что и плечо у неё вдвое короче. Сумма даёт 18 кН — проверка сошлась.

2. 2

   Поперечная сила: две неравные полки

   Участков по-прежнему два, и на каждом Q постоянна. Но теперь полки разной высоты: слева от груза сумма равна реакции A, справа — реакции B со знаком минус. Ступенька между ними по-прежнему равна всей силе.

   Полезная проверка: площадь эпюры Q на участке равна приращению момента на нём. Слева площадь равна R_A·a, что и даёт момент под грузом; справа площадь такая же по модулю, но отрицательная — момент возвращается к нулю.

   $$Q_{\text{лев}} = R_A; \qquad Q_{\text{прав}} = -\,R_B$$
   $$Q(2\ \text{м}^{-}) = 12\ \text{кН}; \qquad Q(2\ \text{м}^{+}) = -6\ \text{кН}$$
   Q слева от силы

   12 кН

   Q справа

   −6 кН

   12 кН на длинном левом участке и −6 кН на правом. Опасна по срезу та сторона, где реакция больше.

3. 3

   Момент: вершина уехала под груз

   Обе ветви эпюры прямые: на левой момент растёт как R_A·z, на правой убывает к нулю у опоры B. Пик — в точке приложения груза, потому что именно там Q меняет знак.

   Подставив плечи, получаем компактную формулу Fab/l. Она симметрична относительно a и b: если груз зеркально перенести к другой опоре, максимум не изменится. Наибольшее значение произведение ab принимает при a = b — вот почему середина пролёта самое опасное место для груза.

   $$M_{\max} = \frac{F\,a\,b}{l}$$
   $$M(2\ \text{м}) = \frac{18 \cdot 2 \cdot 4}{6} = 24\ \text{кН·м}$$
   Момент под силой

   24 кН·м

   Координата опасного сечения

   2 м

   Максимум 24 кН·м под грузом. Сравните с этой же силой посередине: там вышло бы Fl/4, то есть заметно больше, — сдвиг груза к опоре разгружает балку.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Балки», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §4.1.

• Ставят в числитель реакции своё же плечо

  Частая путаница: у опоры A в числителе стоит b, а не a. Проверяйте здравым смыслом — ближняя к грузу опора обязана взять больше, у нас 12 кН против 6 кН.

• Считают момент под грузом как F·a

  На плече a работает не вся сила, а только реакция 12 кН. Отсюда 24 кН·м, а не произведение силы на расстояние — иначе ответ завышен в разы.

• Рисуют эпюру Q симметричной

  Симметрия была, пока груз стоял по центру. Здесь полки разные: 12 кН и −6 кН. Одинаковая высота ступенек — признак того, что реакции посчитаны без учёта плеч.

• Ищут максимум момента в середине пролёта

  Вершина стоит под грузом, в точке z = 2 м, а не по центру. Правило универсально: максимум там, где Q меняет знак, и для сосредоточенной силы это точка её приложения.