Круг Мора
Круг Мора — график напряжений на всех площадках через одну точку. Грань x даёт точку (σx, τxy), грань y — точку (σy, −τxy); отрезок между ними — диаметр. Пересечения круга с осью σ — главные напряжения, радиус — наибольшее касательное в плоскости элемента.
Повернёте площадку — поменяются и нормальное, и касательное напряжение на ней. Формулы для этого есть, но в них двойные углы и знаки, в которых легко запутаться. Мор заметил, что если отложить пару (σ, τ) для каждой площадки точкой на плоскости, все точки лягут на одну окружность.
С тех пор круг служит и способом решения, и проверкой. Главные напряжения, угол главных площадок, наибольшее касательное — всё это читается с картинки, и если числа, найденные по формулам, с ней не совпали, ошибка где-то в знаках.
Почему получается именно окружность
Напряжения на площадке, повёрнутой на угол α, зависят не от α, а от 2α — через косинус и синус двойного угла. Если возвести оба выражения в квадрат и сложить, угол уходит, и остаётся уравнение окружности в осях σ и τ.
Отсюда главное правило чтения: повороту площадки на α отвечает поворот точки по кругу на 2α. Две перпендикулярные грани элемента, повёрнутые друг относительно друга на прямой угол, лежат на круге на противоположных концах диаметра.
Построение по шагам
Проведите ось σ вправо и ось τ вверх, в одном масштабе — иначе окружность выйдет эллипсом и углы на ней врут. Отметьте точку грани x с координатами (σx, τxy) и точку грани y — (σy, −τxy): касательные на двух гранях по закону парности равны и противоположны по знаку.
Соедините точки. Отрезок пересечёт ось σ ровно в центре круга — в примере это 70,0 МПа. Радиус — расстояние от центра до любой из двух точек, здесь 42,43 МПа. Проведите окружность: она обязана пройти через обе точки, и это первая проверка построения.
Правило знака для τ в учебниках разное: у одних ось τ смотрит вверх, у других вниз, и направление отсчёта угла от этого меняется. Круг при этом тот же, различается только сторона, в которую откладывают угол, — берите соглашение своей методички и держите его до конца.
Что снимается с круга
Круг пересекает ось σ в двух точках, где τ = 0, — это главные площадки. Правая точка — наибольшее главное напряжение, центр плюс радиус, в примере 112,43 МПа; левая — наименьшее, центр минус радиус, 27,57 МПа.
Угол от точки грани x до правой точки на оси σ — это удвоенный угол главной площадки. В элементе поворот вдвое меньше: в примере −22,5 °. Верхняя и нижняя точки круга — площадки наибольшего касательного напряжения в плоскости, они повёрнуты к главным на сорок пять градусов.
Три круга и настоящий τmax
Плоское напряжённое состояние — это всё-таки объёмное, у которого третье главное напряжение равно нулю. Кругов поэтому три: на парах главных напряжений, включая нуль. Наибольшее касательное — радиус самого большого из них.
Если оба главных напряжения плоской задачи одного знака, нуль оказывается крайним, и большой круг строится на σ₁ и нуле. Так в примере: радиус плоского круга 42,43 МПа, а настоящее наибольшее касательное 56,21 МПа. Взять радиус плоского круга значит занизить опасность — и третья теория прочности это унаследует.
Частные случаи, которые спрашивают на экзамене
Одноосное растяжение: круг проходит через начало координат и точку σ. Наибольшее касательное — половина σ, на площадке под сорок пять градусов; поэтому пластичный образец течёт по косым линиям, хотя тянут его вдоль.
Чистый сдвиг: центр круга в начале координат, главные напряжения равны τ и −τ. Растяжение есть и здесь, просто под сорок пять градусов к граням, — поэтому чугунный вал при кручении рвётся по винтовой линии, а не поперёк.
Всестороннее равное напряжение: круг стягивается в точку. Любая площадка главная, касательных нет нигде — и сдвигом такое состояние материал не разрушит.
На числах
Элемент с напряжениями 100 МПа и 40 МПа на гранях и касательным 30 МПа: по этим трём числам строится весь круг.
Где обычно ошибаются
Ставят обе грани с одним знаком τ
Тогда отрезок между точками не проходит через ось σ в центре, и круг выходит смещённым. На гранях x и y касательные парные: у одной τxy, у другой −τxy.
Откладывают на круге угол α, а не 2α
На круге все углы удвоены. Отложив α, вы попадёте в точку, которой не соответствует ни одна главная площадка, и главное напряжение прочитаете не там.
Считают радиус наибольшим касательным всегда
Радиус — максимум только в плоскости элемента. Если главные напряжения одного знака, настоящий максимум даёт круг на σ₁ и нуле: в примере 56,21 МПа против радиуса 42,43 МПа.
Рисуют оси в разных масштабах
Окружность превращается в эллипс, и угол, снятый транспортиром, перестаёт быть удвоенным углом площадки. Масштаб по σ и по τ должен быть один.
Частые вопросы
Зачем круг Мора, если есть формулы?
Формулы дают числа, круг — проверку и понимание. По нему сразу видно, где главные площадки, где наибольший сдвиг и сходятся ли найденные значения. На экзамене его просят построить как раз затем, чтобы увидеть, понимаете ли вы, откуда эти числа.
В какую сторону по кругу откладывать угол?
Зависит от того, куда направлена ось τ в вашем учебнике. Надёжный способ не гадать: найдите угол по формуле и подставьте его в выражение для σ на площадке — на главной площадке касательное должно обратиться в ноль.
Круг Мора, теория Мора и интеграл Мора — это одно и то же?
Нет, это три разные вещи одного автора. Круг — напряжения в точке, теория — прочность материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию, интеграл — перемещения в балках и рамах.
Интеграл Мора →Где построить круг Мора для своих напряжений?
В калькуляторе напряжённого состояния: введите σx, σy и τxy, и он нарисует круг, найдёт главные напряжения и угол площадок с ходом решения.
Расчёт напряжённого состояния →