Какую теорию прочности выбрать и чем они отличаются

1. 1

   Ось x вдоль стержня и главные напряжения

   Ось x ведём вдоль оси вала: на площадке, ей перпендикулярной, действует σ от изгиба, начало отсчёта угла — α = 0 на этой самой площадке. Вдоль оси вала ничто не сжимает, поэтому второе нормальное напряжение равно нулю.

   Это и есть частный случай плоского состояния, ради которого не нужно спрашивать σy: он известен заранее. Подставляем σx = σ, σy = 0 и получаем главные напряжения обычным порядком.

   $$\sigma_{max,min} = \frac{\sigma}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^2 + \tau^2}$$
   $$\sigma_{max,min} = \frac{80}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{80}{2}\right)^2 + 40^2}$$
   σ₁

   96,57 МПа

   σ₃

   −16,57 МПа

   С учётом нуля свободной площадки ряд получается такой: σ₁ = 96,57 МПа, σ₂ = 0,00 МПа, σ₃ = −16,57 МПа.

2. 2

   Теории для пластичных материалов: III и IV

   Третья теория считает опасным наибольшее касательное напряжение и потому смотрит только на крайние главные, полностью игнорируя σ₂. В этом её грубость и её же удобство: формула короткая, а результат всегда идёт в запас.

   Четвёртая теория учитывает все три главных напряжения через энергию формоизменения и лучше всех согласуется с опытом на стали. Разница между ними здесь 6,9 % — это типичная величина, больше пятнадцати процентов она не бывает.

   $$\sigma_{\text{экв}}^{III} = \sigma_1 - \sigma_3; \qquad \sigma_{\text{экв}}^{IV} = \sqrt{\tfrac{1}{2}\left[(\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2\right]}$$
   $$\sigma_{\text{экв}}^{III} = 96{,}57 - (-16{,}57) = 113{,}14\ \text{МПа}; \qquad \sigma_{\text{экв}}^{IV} = 105{,}83\ \text{МПа}$$
   III теория

   113,14 МПа

   IV теория

   105,83 МПа

   Запас по IV

   1,51

   По третьей теории 113,14 МПа, по четвёртой 105,83 МПа. Обе меньше допускаемого 160 МПа, запасы 1,41 и 1,51.

3. 3

   Короткая запись для изгиба с кручением

   Подстановка σy = 0 в общие формулы сворачивает их в две записи, которые в деталях машин используют не глядя. Проверьте: под корнем стоит квадрат нормального напряжения плюс учетверённый или утроенный квадрат касательного.

   Эти формулы верны только для случая «одно нормальное и одно касательное». В общем плоском состоянии, где σy не ноль, они дают неверный ответ, и подставлять в них σx вместо σ нельзя.

   $$\sigma_{\text{экв}}^{III} = \sqrt{\sigma^2 + 4\tau^2}; \qquad \sigma_{\text{экв}}^{IV} = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2}$$
   $$\sqrt{80^2 + 4\cdot40^2} = 113{,}14\ \text{МПа}; \qquad \sqrt{80^2 + 3\cdot40^2} = 105{,}83\ \text{МПа}$$

   Совпало с предыдущим шагом до последней цифры — короткая запись это та же общая формула, свёрнутая для частного случая.

4. 4

   Хрупкие материалы: теории I и V

   Первая теория считает опасным наибольшее растягивающее напряжение и годится для хрупких материалов, работающих на растяжение. Для пластичных она бесполезна: не объясняет, почему при всестороннем сжатии материал не разрушается.

   Теория Мора учитывает, что чугун, бетон и камень держат сжатие заметно лучше растяжения, и вводит отношение допускаемых k. При k = 1 она в точности превращается в третью — это встроенная проверка формулы.

   $$\sigma_{\text{экв}}^{I} = \sigma_1; \qquad \sigma_{\text{экв}}^{V} = \sigma_1 - k\sigma_3, \quad k = \frac{[\sigma_p]}{[\sigma_c]}$$
   $$\sigma_{\text{экв}}^{I} = 96{,}57\ \text{МПа}; \qquad \sigma_{\text{экв}}^{V} = 96{,}57 - 0{,}4\cdot(-16{,}57) = 103{,}20\ \text{МПа}$$
   I теория

   96,57 МПа

   V теория (Мора)

   103,20 МПа

   Для стали в записку идёт 105,83 МПа по четвёртой теории. Числа 96,57 МПа и 103,20 МПа приведены для сравнения — на пластичный материал они не распространяются.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Сложное сопротивление», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, гл. «Теории прочности».

• Складывают σ и τ арифметически

  Получают 80 МПа + 40 МПа и сравнивают с допускаемым. Так делать нельзя: напряжения действуют на разных площадках, и объединяет их только критерий прочности, а не сложение.

• Считают пластичную сталь по первой теории

  Она даёт 96,57 МПа — заметно меньше, чем 105,83 МПа по четвёртой, и деталь выглядит прочнее, чем есть. Первая теория описывает отрыв хрупкого материала, к стали отношения не имеет.

• Подставляют σx вместо σ в короткую формулу

  Записи √(σ²+4τ²) и √(σ²+3τ²) выведены при σy = 0. Если второе нормальное напряжение не ноль, нужны общие формулы через главные напряжения — короткие дадут неверный ответ.

• Сравнивают σэкв с пределом текучести вместо допускаемого

  Допускаемое уже содержит коэффициент запаса. Сравнение с пределом текучести означает работу без запаса вообще — здесь 160 МПа против σэкв 105,83 МПа.