Как найти главные напряжения и построить круг Мора

1. 1

   Ось x и правило знаков

   Ось x ведём вдоль той грани элемента, на которой задано σx: угол площадки всюду ниже отсчитывается от неё против часовой стрелки, начало отсчёта — α = 0 на самой этой грани. Второе обозначение для угла в разборе не появится.

   Касательное τxy считаем положительным, когда на площадке с внешней нормалью x оно направлено в сторону положительной оси y. Это правило и даёт знак минус в формуле угла ниже: в методичках с другим правилом его нет, и ответ отличается поворотом на 90°.

   $$\sigma_\alpha = \sigma_x\cos^2\alpha + \sigma_y\sin^2\alpha - \tau_{xy}\sin 2\alpha$$
   $$\sigma_x = 100\ \text{МПа}, \quad \sigma_y = 40\ \text{МПа}, \quad \tau_{xy} = 30\ \text{МПа}$$

   Дальше все углы — от оси x, против часовой стрелки. Одно соглашение на весь разбор.

2. 2

   Главные напряжения

   Полусумма σx и σy задаёт середину между главными напряжениями, а корень — половину размаха. Эти же две величины окажутся центром и радиусом круга Мора, поэтому считать их отдельно потом не придётся.

   Обратите внимание: под корнем стоит квадрат разности, а не разность квадратов. Ошибка здесь даёт правдоподобное число, и заметить её можно только проверкой инвариантами в конце.

   $$\sigma_{max,min} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{(\sigma_x - \sigma_y)^2 + 4\tau_{xy}^2}$$
   $$\sigma_{max,min} = \frac{100 + 40}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{(100 - 40)^2 + 4\cdot30^2}$$
   Наибольшее

   112,43 МПа

   Наименьшее

   27,57 МПа

   Радиус круга

   42,43 МПа

   Получили 112,43 МПа и 27,57 МПа. Центр круга Мора — 70,0 МПа, радиус — 42,43 МПа.

3. 3

   Нумерация с нулём третьей площадки

   Задача плоская, но состояние объёмное: площадка, свободная от нагрузки, несёт нулевое напряжение, и этот ноль — полноценное третье главное напряжение. Его обязательно ставят в общий ряд при нумерации по убыванию.

   Здесь оба найденных напряжения положительны, значит ноль оказывается последним: σ₃ = 0. Пропустить его — самая частая ошибка раздела, и ошибается она в опасную сторону: третья теория даёт заниженное эквивалентное напряжение.

   $$\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3 \quad \text{из набора } \{\sigma_{max},\ \sigma_{min},\ 0\}$$
   $$\sigma_1 = 112{,}43\ \text{МПа}, \quad \sigma_2 = 27{,}57\ \text{МПа}, \quad \sigma_3 = 0{,}00\ \text{МПа}$$
   σ₁

   112,43 МПа

   σ₂

   27,57 МПа

   σ₃

   0,00 МПа

   Ряд построен: 112,43 МПа, 27,57 МПа, 0,00 МПа. Именно эта тройка пойдёт в теории прочности.

4. 4

   Положение главных площадок и τmax

   Угол находится из условия обращения касательного напряжения в ноль. Вторая главная площадка перпендикулярна первой, а площадка наибольшего касательного напряжения наклонена к ним под 45° — по ней и идёт линия сдвига, которую видно на образце после испытания.

   Наибольшее касательное считается по крайним главным напряжениям, то есть с участием нуля. Если взять только пару плоской задачи, получится 42,4 МПа вместо 56,21 МПа — и снова в опасную сторону.

   $$\operatorname{tg} 2\alpha_0 = \frac{-2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}; \qquad \tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$$
   $$\operatorname{tg} 2\alpha_0 = \frac{-2\cdot30}{100 - 40} \Rightarrow \alpha_0 = -22{,}5\ \text{°}; \qquad \tau_{max} = \frac{112{,}43 - 0{,}00}{2} = 56{,}21\ \text{МПа}$$
   Угол главной площадки

   −22,5 °

   Наибольшее касательное

   56,21 МПа

   Главная площадка повёрнута на −22,5 °, наибольшее касательное напряжение 56,21 МПа.

5. 5

   Проверка инвариантами

   Сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам от поворота осей не зависит — как и величина σx·σy − τxy². Значит, они обязаны совпасть с тем, что даёт пара найденных главных напряжений.

   Проверка занимает полминуты и ловит любую арифметическую ошибку предыдущих шагов. Не сошлось — ищите ошибку здесь, а не в вердикте о прочности: до вердикта она доедет уже незаметной.

   $$\sigma_x + \sigma_y = \sigma_{max} + \sigma_{min}; \qquad \sigma_x\sigma_y - \tau_{xy}^2 = \sigma_{max}\sigma_{min}$$
   $$100 + 40 = 140\ \text{МПа}; \qquad 100\cdot40 - 30^2 = 3100\ \text{МПа²}$$
   Первый инвариант

   140 МПа

   σэкв по IV теории

   101,49 МПа

   Оба инварианта сошлись: 140 МПа и 3100 МПа². Расчёт верен, можно переходить к прочности — по третьей теории σэкв = 112,43 МПа, по четвёртой 101,49 МПа.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Сложное сопротивление», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, гл. «Напряжённое состояние».

• Забывают ноль третьей площадки

  Пишут σ₁ = 112,43 МПа, σ₂ = 27,57 МПа и на этом останавливаются. Тогда τmax выходит равным радиусу плоского круга, а не 56,21 МПа, и третья теория занижает опасность состояния.

• Берут угол из арктангенса напрямую

  У тангенса двойного угла период 90°, и обычный арктангенс не различает, на какой из двух перпендикулярных площадок σmax. Проверяйте подстановкой: на верной главной площадке получится именно 112,43 МПа, а касательное обнулится.

• Путают разность квадратов с квадратом разности

  Под корнем стоит (σx − σy)², то есть 100 МПа минус 40 МПа и лишь потом в квадрат. Ошибка даёт правдоподобное число, и ловится она только проверкой инвариантами.

• Считают σэкв, не упорядочив главные напряжения

  Формулы теорий прочности написаны для σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃. Подстановка в произвольном порядке даёт число, которое ни с чем сравнивать нельзя.