Напряжения на площадке зависят от её наклона: повернули сечение — получили другие σ и τ. Есть два взаимно перпендикулярных направления, где касательное обращается в ноль, а нормальное принимает наибольшее и наименьшее значения. Эти площадки называют главными, и с них начинается любой расчёт на прочность при сложном напряжённом состоянии.

Калькулятор находит главные напряжения, угол главных площадок и максимальные касательные, строит круг Мора и отдельным шагом проверяет расчёт инвариантами: сумма и произведение главных напряжений обязаны совпасть с исходными. На контрольной это единственный способ поймать свою же арифметическую ошибку за полминуты.

• два входа: общий случай σx, σy, τxy и «σ и τ в опасной точке» — второй как раз для валов и балок;
• три круга на диаграмме, а не один: ноль третьей площадки участвует в нумерации главных напряжений наравне с остальными;
• угол площадок считается так, что при σx < σy ответ не уезжает на 90° — типичная ошибка при решении через арктангенс.

Испытание даёт одну цифру — предел при простом растяжении. В детали же напряжённое состояние сложное, и сравнивать напрямую не с чем. Теория прочности — правило, по которому сложное состояние заменяется эквивалентным одноосным растяжением: тем, что разрушает материал «так же». Отсюда σэкв — это не настоящее напряжение в точке, а мера опасности в тех же единицах, что и паспортное [σ].

Область применимости здесь не примечание, а часть ответа:

• I — наибольших нормальных напряжений: хрупкие материалы при растяжении, для пластичных неприменима;
• II — наибольших линейных деформаций: историческая, опытом не подтверждается;
• III — наибольших касательных: пластичные материалы, проста и идёт в запас до 15 %;
• IV — энергетическая (Мизеса): пластичные материалы, лучшее согласие с опытом, основная для стали;
• V — Мора: материалы с разной прочностью на растяжение и сжатие — чугун, бетон, камень.

Считать пластичную сталь по первой теории так же неверно, как чугун по четвёртой, поэтому раздел выводит все теории сразу и подписывает у каждой, для чего она годится.

Длинный сжатый стержень теряет несущую способность раньше, чем напряжение дойдёт до предела текучести: при некоторой силе прямая форма равновесия перестаёт быть устойчивой, и стержень выпучивается. Для гибкого стержня именно эта сила и есть ограничение, а не прочность.

Самое важное в этой задаче — не подставить числа в формулу Эйлера, а понять, применима ли она вообще. Формула выведена для упругой работы материала; на коротком стержне она завышает несущую способность, то есть ошибается против запаса. Поэтому раздел сначала считает гибкость и предельную гибкость и только потом выбирает формулу — выбор показан отдельным шагом решения.

• четыре схемы закрепления через коэффициент приведения длины μ: 1,0 — шарниры, 2,0 — стойка-консоль, 0,5 — две заделки, 0,7 — заделка и шарнир;
• три зоны по гибкости: Эйлер, эмпирическая прямая Ясинского и короткий стержень, который теряет не устойчивость, а прочность;
• сечение задаётся числами, простой фигурой или профилем ГОСТ — в последнем случае берётся минимальный радиус инерции, а не первый из таблицы;
• отдельно — проверка по нормам через коэффициент φ: она даёт не критическую, а сразу допускаемую нагрузку.

Косой изгиб возникает, когда плоскость нагрузки не совпадает ни с одной из главных осей сечения. Изгиб раскладывается на два плоских, напряжения складываются — и происходит то, ради чего эту задачу изучают: нейтральная линия перестаёт быть перпендикулярной плоскости нагрузки и уходит в сторону слабой оси. У двутавра перекос нагрузки всего на 10° поднимает напряжение больше чем вдвое. Именно поэтому двутавр «на бок» не ставят.

Изгиб с кручением — самая частая задача про валы в курсовых по деталям машин. У круглого сечения полярный момент сопротивления ровно вдвое больше осевого, и подстановка напряжений в критерий теории прочности сворачивается в короткую формулу эквивалентного момента. Дальше вал считают как обычную балку — в этом и удобство: подбор диаметра идёт по привычной формуле изгиба.