Как проверить вал, который одновременно изгибается и скручивается

1. 1

   Ось вала и моменты сопротивления

   Ось вала ведём вдоль него, начало отсчёта — в опасном сечении, том самом, где изгибающий момент наибольший. Опасная точка лежит на поверхности: там и нормальное напряжение от изгиба максимально, и касательное от кручения тоже.

   У круга полярный момент сопротивления ровно вдвое больше осевого — это свойство только круга, и именно из него получится короткая формула эквивалентного момента. Для прямоугольника или двутавра такой формулы не существует.

   $$W = \frac{\pi D^3}{32}; \qquad W_\rho = 2W = \frac{\pi D^3}{16}$$
   $$W = \frac{\pi \cdot 60^3}{32} = 21206\ \text{мм³}; \qquad W_\rho = 42412\ \text{мм³}$$
   Осевой

   21206 мм³

   Полярный

   42412 мм³

   Осевой момент сопротивления 21206 мм³, полярный 42412 мм³ — ровно вдвое больше.

2. 2

   Напряжения в опасной точке

   Нормальное напряжение от изгиба и касательное от кручения действуют на разных площадках одного элемента. Складывать их арифметически нельзя — объединяет их только критерий прочности, который и превратит пару чисел в одно.

   Оба напряжения максимальны на поверхности вала и оба падают до нуля на оси, поэтому опасная точка одна и та же для изгиба и для кручения. Это и позволяет свести задачу к одной формуле.

   $$\sigma = \frac{M}{W}; \qquad \tau = \frac{M_к}{W_\rho}$$
   $$\sigma = \frac{1200 \cdot 10^3}{21206} = 56{,}59\ \text{МПа}; \qquad \tau = \frac{900 \cdot 10^3}{42412} = 21{,}22\ \text{МПа}$$
   От изгиба

   56,59 МПа

   От кручения

   21,22 МПа

   Нормальное 56,59 МПа, касательное 21,22 МПа. По отдельности оба заметно ниже допускаемого — но вместе они опаснее.

3. 3

   Эквивалентный момент

   Подстановка напряжений в критерий теории прочности сворачивает всё в один момент — тот, который при чистом изгибе давал бы такое же эквивалентное напряжение. Дальше вал считается как обычная балка, и в этом весь смысл приёма.

   Третья теория даёт больше четвёртой всегда: она игнорирует среднее главное напряжение и потому консервативна. Разница здесь заметна уже в моменте, до всякого деления на W.

   $$M_{экв}^{III} = \sqrt{M^2 + M_к^2}; \qquad M_{экв}^{IV} = \sqrt{M^2 + 0{,}75\,M_к^2}$$
   $$M_{экв}^{III} = \sqrt{1200^2 + 900^2} = 1500{,}0\ \text{Н·м}; \qquad M_{экв}^{IV} = 1430{,}9\ \text{Н·м}$$
   III теория

   1500,0 Н·м

   IV теория

   1430,9 Н·м

   По третьей теории 1500,0 Н·м, по четвёртой 1430,9 Н·м — четвёртая мягче примерно на пять процентов.

4. 4

   Проверка прочности

   Эквивалентное напряжение сравнивается с допускаемым так же, как при обычном изгибе: делим эквивалентный момент на осевой момент сопротивления. Полярный здесь уже не нужен — он сыграл свою роль при выводе формулы.

   Для стали в записку идёт результат по четвёртой теории. Третья остаётся как страховка: если деталь проходит по ней, вопросов не возникнет ни у кого.

   $$\sigma_{экв} = \frac{M_{экв}}{W} \le [\sigma]$$
   $$\sigma_{экв}^{IV} = \frac{1430{,}9 \cdot 10^3}{21206} = 67{,}48\ \text{МПа} \le 80\ \text{МПа}$$
   σэкв по IV

   67,48 МПа

   Запас по IV

   1,19

   Запас по III

   1,13

   По четвёртой теории 67,48 МПа при допускаемом 80 МПа, запас 1,19. По третьей строже — 70,74 МПа и запас 1,13, но вал проходит и по ней.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Сложное сопротивление», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, гл. «Сложное сопротивление».

• Складывают σ и τ напрямую

  Получают 56,59 МПа плюс 21,22 МПа и сравнивают с допускаемым. Напряжения действуют на разных площадках, и такая сумма не имеет физического смысла — нужен критерий прочности.

• Делят эквивалентный момент на полярный момент сопротивления

  В формуле стоит осевой W = 21206 мм³, а не полярный 42412 мм³. Полярный уже учтён при выводе эквивалентного момента, и второй раз его вводить нельзя.

• Применяют эквивалентный момент к некруглому сечению

  Соотношение W_ρ = 2W верно только для круга и кольца. Для прямоугольника или двутавра эквивалентного момента нет, там считают напряжения по точкам.

• Берут изгибающий момент только в одной плоскости

  На валу изгиб обычно в двух плоскостях сразу. Круглое сечение равножёстко во всех направлениях, поэтому моменты складываются геометрически, а не берётся больший из двух.