Решатор

Третья и четвёртая теории прочности: что выбрать

Теория прочности — это правило, по которому сложное напряжённое состояние заменяют одним эквивалентным напряжением и сравнивают его с допускаемым. Для пластичных материалов берут третью или четвёртую: третья считает опасным наибольшее касательное напряжение, четвёртая — энергию формоизменения. Для хрупких применяют теорию Мора.

Испытывают материал на растяжение — одноосно, одним напряжением. А в детали их сразу несколько, и сравнивать не с чем: предел текучести измерен для другого случая.

Выход — пересчитать сложное состояние в одноосное, эквивалентное ему по опасности. Вопрос «что именно считать мерой опасности» и разделил теории: каждая отвечает на него по-своему, и потому эквивалентные напряжения у них разные.

Выбирают теорию не по вкусу, а по материалу — точнее, по тому, как он разрушается: течением или отрывом.

Пластичный или хрупкий — вот и весь выбор

Пластичный материал разрушается сдвигом: перед разрывом он течёт, и площадки скольжения идут под углом к оси. Мерой опасности логично взять то, что вызывает сдвиг, — касательные напряжения или энергию формоизменения. Это третья и четвёртая теории.

Хрупкий материал рвётся отрывом, почти без пластики, и по-разному держит растяжение и сжатие. Здесь работает теория Мора, где два допускаемых напряжения входят в формулу явно. Первая и вторая теории — исторические: их приводят для полноты, в расчётах почти не применяют.

Третья теория (наибольших касательных напряжений)
σekv=σ1−σ3\sigma_{ekv} = \sigma_1 - \sigma_3
Четвёртая (энергетическая)
σekv=12[(σ1−σ2)2+(σ2−σ3)2+(σ3−σ1)2]\sigma_{ekv} = \sqrt{\tfrac{1}{2}\left[(\sigma_1-\sigma_2)^2 + (\sigma_2-\sigma_3)^2 + (\sigma_3-\sigma_1)^2\right]}
Теория Мора
σekv=σ1−[σp][σc] σ3\sigma_{ekv} = \sigma_1 - \frac{[\sigma_p]}{[\sigma_c]}\,\sigma_3

Третья строже, четвёртая точнее

Третья теория всегда даёт эквивалентное напряжение не меньше, чем четвёртая, — разница доходит примерно до пятнадцати процентов. Значит, она идёт в запас: посчитали по третьей — по четвёртой тем более пройдёт.

Четвёртая ближе к опыту и потому экономичнее: то же сечение по ней оказывается менее нагруженным, а требуемое — меньше. В учебных заданиях обычно просят посчитать по обеим и сравнить, и разница как раз и есть ответ на вопрос «зачем их две».

Частный случай вала: σ и τ в одной точке

Изгиб с кручением встречается чаще любого другого сложного состояния, и для него формулы свёрнуты до двух напряжений в точке. Промежуточные главные напряжения при этом считать не нужно — они уже подставлены.

Именно в такой форме теории прочности и применяют на практике: нормальное напряжение от изгиба, касательное от кручения, и одно из двух выражений в зависимости от того, что требует методичка.

Третья теория для вала
σekv=σ2+4τ2\sigma_{ekv} = \sqrt{\sigma^{2} + 4\tau^{2}}
Четвёртая теория для вала
σekv=σ2+3τ2\sigma_{ekv} = \sqrt{\sigma^{2} + 3\tau^{2}}

Что делать, если теория не указана

Для стали считайте по третьей: она проще, даёт запас и принята в большинстве методичек. Если требуется экономия материала — четвёртая, с оговоркой в пояснительной записке.

Для чугуна и других хрупких материалов третья и четвёртая теории не годятся принципиально: они не различают растяжение и сжатие, а у хрупкого материала это разница в разы. Нужна теория Мора.

На числах

Плоское напряжённое состояние: нормальное напряжение 80 МПа и касательное 40 МПа. Третья теория даёт 113,14 МПа, четвёртая — 105,83 МПа; разница 6,9 % и целиком в пользу четвёртой.

По третьей теории
113,14 МПа
По четвёртой теории
105,83 МПа
Запас по третьей
1,41
Запас по четвёртой
1,51
Весь разбор целиком: Какую теорию прочности выбрать и чем они отличаются →

Где обычно ошибаются

  • Сравнивают с допускаемым не эквивалентное напряжение

    В условие прочности идёт именно эквивалентное напряжение целиком, а не главное 96,57 МПа и не наибольшее касательное 56,57 МПа по отдельности. Теория прочности для того и нужна, чтобы получить одно число вместо трёх.

  • Применяют третью теорию к чугуну

    Третья и четвёртая теории построены на сдвиге и одинаково относятся к растяжению и сжатию. Хрупкий материал держит сжатие в разы лучше, и для него нужна теория Мора с двумя допускаемыми напряжениями.

  • Путают порядок главных напряжений

    Главные напряжения нумеруют по убыванию с учётом знака: в примере 96,57 МПа, 0,00 МПа, −16,57 МПа. Если переставить их местами, разность в третьей теории выйдет заниженной, и проверка покажет прочность там, где её нет.

  • Считают, что четвёртая теория «лучше», и берут только её

    Четвёртая точнее для пластичных материалов, но запас по ней меньше: в примере 1,51 против 1,41 по третьей. Если нагрузка известна грубо, разумнее остаться на третьей.

Частые вопросы

Какую теорию брать, если в задании не сказано?

Для стали и других пластичных материалов — третью: она проще и идёт в запас. Для чугуна, бетона и камня — теорию Мора.

Насколько теории расходятся в числах?

В примере расхождение 6,9 %, и это типичная величина: потолок разницы между третьей и четвёртой теориями — около пятнадцати процентов, причём третья всегда строже.

Разбор: все пять теорий на одних данных →
Зачем тогда первая и вторая теории?

Исторически: первая проверяет наибольшее нормальное напряжение, вторая — наибольшую деформацию. Опыту они соответствуют плохо и остались в курсе как ступени рассуждения, а не как рабочий инструмент.

Нужно ли считать главные напряжения для вала?

Нет. Для изгиба с кручением формулы уже свёрнуты к нормальному и касательному напряжению в точке — под корнем стоит коэффициент 4 или 3 в зависимости от теории.

Проверка вала на изгиб с кручением →

Попробовать на своей задаче

Сложное сопротивление — считать онлайн

Рядом по теме