Двухопорная балка с сосредоточенным моментом

1. 1

   Ось и реакции: пара уравновешивается парой

   Ось z ведём от левой опоры: A в нуле, B в точке 6 м, внешний момент приложен при z = 2 м. Одна координата на весь разбор.

   Вертикальных сил нет, поэтому сумма реакций обязана быть нулевой — значит, они равны по величине и противоположны по знаку. Уравновесить приложенную пару может только другая пара, а её плечом служит пролёт. Отсюда величина реакций: внешний момент, делённый на длину.

   $$R_A = \frac{M}{l}; \qquad R_B = -\,\frac{M}{l}$$
   $$R_A = \frac{24}{6} = 4\ \text{кН}; \qquad R_B = -4\ \text{кН}$$
   Реакция A

   4 кН

   Реакция B

   −4 кН

   4 кН вверх на левой опоре и −4 кН на правой — то есть вниз. Отрицательная реакция здесь не ошибка: опора B действительно удерживает балку от подъёма.

2. 2

   Поперечная сила: одна полка на всю балку

   Слева от любого сечения лежит только реакция A — она одна и та же везде, ведь между опорами нет ни одной силы. Сосредоточенный момент в сумму проекций не входит: у пары сил равнодействующая нулевая.

   Поэтому эпюра Q — сплошная полка от опоры до опоры, без ступеней. Запомнить просто: сосредоточенный момент на эпюру Q не влияет вообще.

   $$Q(z) = R_A = \text{const}$$
   $$Q(0) = Q(6\ \text{м}) = 4\ \text{кН}$$
   Q в любом сечении

   4 кН

   Постоянная 4 кН по всей длине. Ни скачков, ни наклона: сил нет, нагрузки нет.

3. 3

   Момент: две прямые и ступенька между ними

   На первом участке момент растёт от нуля на опоре A линейно, с наклоном, равным Q. Дойдя до точки приложения внешнего момента, эпюра прыгает — ровно на величину этого момента, — и дальше снова идёт прямой, с тем же наклоном, до нуля на опоре B.

   Наклон один и тот же по обе стороны от скачка, потому что Q постоянна. Это удобный признак для самопроверки: если после ступеньки прямая пошла под другим углом, значит где-то потеряна сила.

   $$M(z) = R_A\,z \;\; (z < a); \qquad M(z) = R_A\,z - M \;\; (z > a)$$
   $$M(2\ \text{м}^{-}) = 8\ \text{кН·м}; \qquad M(2\ \text{м}^{+}) = -16\ \text{кН·м}; \qquad \Delta M = 24\ \text{кН·м}$$
   M слева от момента

   8 кН·м

   M справа

   −16 кН·м

   Расчётный момент

   16 кН·м

   8 кН·м слева от сечения и −16 кН·м справа — разница ровно 24 кН·м. Опасное сечение то, где модуль больше: расчётный момент 16 кН·м.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Балки», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §4.1.

• Считают отрицательную реакцию ошибкой и меняют ей знак

  −4 кН со знаком минус означает, что опора тянет балку вниз, и это физически верно: без такого удержания балка провернулась бы. Исправлять знак «для красоты» — значит нарушить равновесие.

• Рисуют на эпюре Q ступеньку под моментом

  Скачок на Q даёт сила, а не момент. Здесь Q постоянна и равна 4 кН на всей длине — ступенька появляется только на эпюре M.

• Делают перепад на M произвольной высоты

  Высота ступеньки строго равна внешнему моменту 24 кН·м: с 8 кН·м на −16 кН·м. Любое другое значение означает арифметическую ошибку в одной из двух ветвей.

• Ломают наклон после скачка

  Слева и справа от ступеньки прямые обязаны идти параллельно: наклон равен Q, а она не изменилась. Разный угол — верный признак, что в правую ветвь случайно добавили лишнее слагаемое.