Подбор сечения рамы

1. 1

   Наибольший момент в раме

   Ось x ведём вправо, ось y вверх, начало отсчёта — в левой опоре, местная координата ригеля идёт слева направо. Рама симметрична и нагружена симметрично, значит реакции одинаковы и равны половине всей нагрузки: 60,00 кН и 60,00 кН.

   Ригель работает как балка на двух опорах: момент наибольший в середине пролёта. Стойки не нагружены поперёк и моментов не несут — весь изгиб сосредоточен в ригеле.

   $$M_{max} = \frac{q l^{2}}{8}$$
   $$M_{max} = \frac{20 \cdot 6^{2}}{8} = 90{,}00\ \text{кН·м} \quad \text{при} \ z = 3{,}00\ \text{м}$$
   Расчётный момент

   90,00 кН·м

   Сжатие стоек

   −60,00 кН

   Расчётный момент 90,00 кН·м в середине ригеля. Стойки сжаты силой −60,00 кН, моментов в них нет.

2. 2

   Требуемый момент сопротивления

   Условие прочности при изгибе говорит: наибольшее нормальное напряжение не должно превысить допускаемое. Разворачиваем его относительно момента сопротивления — получаем то наименьшее W, с которым сечение ещё проходит.

   Единицы придётся согласовать: момент в кН·м, напряжение в МПа (Н/мм²), а момент сопротивления сортамент даёт в см³ или мм³. Множитель 10⁶ переводит кН·м в Н·мм — на нём ошибаются чаще, чем на самой формуле.

   $$\sigma = \frac{M_{max}}{W} \le [\sigma] \;\Rightarrow\; W \ge \frac{M_{max}}{[\sigma]}$$
   $$W \ge \frac{90{,}00 \cdot 10^{6}}{160} = 562500\ \text{мм³}$$
   Требуемый W

   562500 мм³

   Требуемый момент сопротивления 562500 мм³. С этим числом идём в сортамент.

3. 3

   Выбор профиля по сортаменту

   Нужен ближайший профиль, у которого момент сопротивления НЕ МЕНЬШЕ требуемого. Округлять вниз нельзя даже на процент: условие прочности перестанет выполняться, а запас в сортаменте между соседними номерами и так небольшой.

   Ближайший меньший профиль даёт всего 498539 мм³ — недобор 11,4 % от требуемого. Берём следующий: у него 641301 мм³ при площади 5268 мм².

   $$W_{\text{профиля}} \ge W_{\text{треб}}$$
   $$641301\ \text{мм³} \ge 562500\ \text{мм³} > 498539\ \text{мм³}$$
   W профиля

   641301 мм³

   Площадь профиля

   5268 мм²

   Принят двутавр с моментом сопротивления 641301 мм³ и площадью 5268 мм².

4. 4

   Проверка напряжений

   Подбор без обратной проверки — половина работы: строкой в сортаменте легко промахнуться. Считаем напряжение при принятом моменте сопротивления и сравниваем с допускаемым.

   Заодно видно, насколько профиль недогружен. Большой запас означает перерасход металла, слишком маленький не оставляет места неучтённым нагрузкам; 12,3 % — нормальная величина для учебного расчёта.

   $$\sigma = \frac{M_{max}}{W_{\text{профиля}}} \le [\sigma]$$
   $$\sigma = \frac{90{,}00 \cdot 10^{6}}{641301} = 140{,}34\ \text{МПа} \le 160\ \text{МПа}$$
   Фактическое напряжение

   140,34 МПа

   Запас

   12,3 %

   140,34 МПа против допускаемых 160 МПа — прочность обеспечена, запас 12,3 %.

5. 5

   Оценка вклада продольной силы

   В стойках к изгибу добавляется сжатие −60,00 кН. Прежде чем отбрасывать его как малое, вклад надо посчитать: разделить продольную силу на площадь принятого профиля и сравнить с изгибными напряжениями.

   Здесь моментов в стойках нет вовсе, поэтому сжатие — единственное, что в них действует, и до допускаемого напряжения ему далеко. Но проверять стойку на этом рано: сжатый стержень может потерять устойчивость раньше, чем достигнет предела прочности.

   $$\sigma_N = \frac{N}{A}$$
   $$\sigma_N = \frac{-60{,}00 \cdot 10^{3}}{5268} \ \text{против изгибных} \ 140{,}34\ \text{МПа}$$
   Продольная сила

   −60,00 кН

   Сжатие стоек на порядок слабее изгиба ригеля. Профиль принимается по ригелю, а стойки требуют отдельной проверки на устойчивость.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Рамы», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Сборник задач по сопротивлению материалов под ред. В. К. Качурина, гл. «Изгиб».

• Теряют множитель 10⁶ при переводе единиц

  Момент в кН·м, напряжение в МПа = Н/мм². Чтобы получить W в мм³, момент надо перевести в Н·мм, то есть умножить на 10⁶. Забыли — получите 562500 мм³ в миллион раз меньше и профиль размером с карандаш.

• Округляют момент сопротивления вниз

  «498539 мм³ почти дотягивает до 562500 мм³» — не дотягивает: недобор 11,4 %. Напряжение выйдет за допускаемое, а запас на неучтённое исчезнет.

• Подбирают сечение по моменту в одном стержне

  Расчётный момент берут наибольший ПО ВСЕЙ раме. Здесь это ригель, но у рамы с заделкой максимум обычно в стойке, и проверять надо оба.

• Считают, что проверки на устойчивость не нужно

  Сжатие −60,00 кН по прочности безопасно, но устойчивость — другой механизм: стойка выпучивается при силе, далёкой от разрушающей. Для рам с высокими стойками эта проверка часто и оказывается решающей.