Рама с распределённой нагрузкой на стойке

1. 1

   Равнодействующая горизонтальной нагрузки

   Ось x ведём вправо, ось y вверх, начало отсчёта — в левой опоре. Местная координата z у стоек идёт снизу вверх, у ригеля — слева направо; так их нормализует расчёт, и менять это по ходу нельзя.

   Распределённую нагрузку сворачиваем в одну силу. Она равна площади эпюры интенсивности, то есть произведению 8 кН/м на высоту 3 м, а приложена в центре тяжести прямоугольника — на середине стойки, на высоте 1,5 м.

   $$R_q = q h, \qquad y_c = \frac{h}{2}$$
   $$R_q = 8 \cdot 3 = 24\ \text{кН}, \qquad y_c = \frac{3}{2} = 1{,}5\ \text{м}$$
   Равнодействующая

   24 кН

   Момент нагрузки

   36 кН·м

   Ветер сводится к силе 24 кН на высоте 1,5 м. Её момент относительно любой точки основания — 36 кН·м.

2. 2

   Реакции опор: пара уравновешивается парой

   Горизонтальная связь на раме одна — в левой опоре, поэтому вся горизонтальная нагрузка уходит в неё: −24,00 кН. Знак минус означает, что реакция направлена против оси x, то есть навстречу ветру.

   Вертикальных сил на раму не приложено вообще, а момент 36 кН·м уравновесить нечем, кроме пары из вертикальных реакций. Отсюда и результат: реакции равны по модулю и противоположны по знаку.

   $$\sum M_A = 0: \quad R_q \cdot \tfrac{h}{2} + R_{Dy} \cdot l = 0$$
   $$R_{Dy} = -\frac{24 \cdot 1{,}5}{6} = 6{,}00\ \text{кН}, \qquad R_{Ay} = -6{,}00\ \text{кН}$$
   Горизонтальная реакция

   −24,00 кН

   Реакция наветренной опоры

   −6,00 кН

   Реакция подветренной опоры

   6,00 кН

   Правая опора сжимается силой 6,00 кН, а левая отрывается: −6,00 кН направлена ВНИЗ. Проверка суммой по вертикали сходится — реакции гасят друг друга, внешних вертикальных сил нет.

3. 3

   Нагруженная стойка: момент растёт по параболе

   Идём по левой стойке снизу вверх. У опоры момент нулевой — шарнир его не воспринимает. Дальше накапливается момент от той части нагрузки, что осталась ниже сечения, и от горизонтальной реакции.

   Нагрузка распределённая, значит её вклад квадратичный: эпюра M на стойке — парабола. На середине высоты она даёт 27,00 кН·м, у верха достигает 36,00 кН·м.

   $$M(z) = R_{Ax} z + \frac{q z^{2}}{2}$$
   $$M(3) = -24{,}00 \cdot 3 + \frac{8 \cdot 3^{2}}{2} = 36{,}00\ \text{кН·м}$$
   Момент в узле

   36,00 кН·м

   Момент на середине стойки

   27,00 кН·м

   У основания 0,00 кН·м, на середине 27,00 кН·м, в узле 36,00 кН·м. Поперечная сила в основании стойки 24,00 кН — она равна горизонтальной реакции, взятой с обратным знаком.

4. 4

   Ригель и правая стойка

   Узел жёсткий, момент проходит через него без изменения: на ригеле у левого конца те же 36,00 кН·м. Поперечных нагрузок на ригеле нет, поэтому Q на нём постоянна, а момент убывает по прямой.

   Правая стойка не нагружена ничем: горизонтальных сил к ней не приложено, горизонтальной связи в её опоре нет. Момент в ней нулевой по всей высоте, работает она только на растяжение.

   $$M_{\text{ригель}}(z) = M_B - Q z, \qquad M_{\text{правая стойка}} \equiv 0$$
   $$M_{\text{ригель}}: 36{,}00\ \text{кН·м} \to 0; \qquad N_{\text{правая}} = -6{,}00\ \text{кН}$$
   Продольная в левой стойке

   6,00 кН

   Продольная в правой стойке

   −6,00 кН

   Эпюра M на ригеле — наклонная прямая от 36,00 кН·м до нуля. Правая стойка растянута силой −6,00 кН, левая сжата 6,00 кН.

5. 5

   Опасное сечение

   Наибольший момент 36,00 кН·м приходится на узел — там сходятся нагруженная стойка и ригель. По этому значению и подбирают сечение, причём одинаковое для обоих стержней: разрывать сечение в жёстком узле нельзя.

   Продольные силы в стойках малы по сравнению с изгибом, но именно растяжение правой стойки и отрыв левой опоры определяют, какими будут анкерные болты. Прочность рамы тут ни при чём — это вопрос к креплению к фундаменту.

   $$\sigma = \frac{M_{max}}{W}$$
   $$M_{max} = 36{,}00\ \text{кН·м} \ \text{в узле}, \qquad z = 3{,}00\ \text{м} \ \text{от низа стойки}$$
   Расчётный момент

   36,00 кН·м

   Опасное сечение — жёсткий узел, 36,00 кН·м. Отрыв левой опоры −6,00 кН передаётся на анкеры фундамента.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Рамы», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Дарков А. В. Строительная механика, гл. 3.

• Считают плечо распределённой нагрузки от верха стойки

  Равнодействующая 24 кН приложена в центре тяжести эпюры, то есть на 1,5 м от ОПОРЫ. Отсчёт от верха даёт то же число только потому, что нагрузка равномерная; при треугольной ветровой ошибка вылезет сразу.

• Отбрасывают минус у реакции наветренной опоры

  −6,00 кН со знаком минус — это отрыв, а не описка. Заменив знак на плюс, вы получите раму, которую ветер прижимает к земле с обеих сторон, чего не бывает.

• Рисуют момент на ненагруженной стойке

  К правой стойке не приложено ни горизонтальных сил, ни горизонтальной реакции — момент в ней ноль по всей высоте. Работает она только продольно: −6,00 кН.

• Ищут наибольший момент в середине ригеля

  Привычка от балок. Здесь ригель не нагружен поперёк, момент на нём убывает монотонно от 36,00 кН·м до нуля, и максимум лежит в узле.