Как учитывать консоль при расчёте рамы

1. 1

   Реакции: консоль догружает ближнюю опору

   Ось x ведём вправо, ось y вверх, начало отсчёта — в левой опоре; местная координата ригеля идёт слева направо через весь стержень, включая консоль. Сумма моментов относительно левой опоры: распределённая нагрузка приложена серединой пролёта, сила консоли — на плече «пролёт плюс вылет».

   Сила на конце консоли работает на длинном плече и потому нагружает правую опору сильнее, чем если бы стояла в пролёте. Левой опоре от неё достаётся отрицательный вклад — консоль пытается приподнять дальний край рамы.

   $$\sum M_A = 0: \quad q l \cdot \tfrac{l}{2} + F (l + a) = R_{Dy} \cdot l$$
   $$R_{Dy} = \frac{10 \cdot 6 \cdot 6 / 2 + 15 \cdot \left(6 + 2\right)}{6} = 50{,}00\ \text{кН}, \qquad R_{Ay} = 25{,}00\ \text{кН}$$
   Реакция левой опоры

   25,00 кН

   Реакция правой опоры

   50,00 кН

   Правая опора приняла 50,00 кН, левая 25,00 кН — вдвое меньше. Горизонтальная реакция 0,00 кН: горизонтальных нагрузок нет.

2. 2

   Консоль: считаем от свободного конца

   Консоль удобна тем, что реакции в неё не входят: идём от свободного конца, и в сечении накапливается только момент от силы 15 кН на плече от конца до сечения.

   У свободного конца момент нулевой, у стойки достигает 30,00 кН·м по модулю. Знак отрицательный — растянуты верхние волокна, как у любой консоли. Поперечная сила на консоли постоянна и равна 15 кН.

   $$M(z) = -F z, \qquad 0 \le z \le a$$
   $$M(2) = -15 \cdot 2 = -30{,}00\ \text{кН·м}$$
   Момент над опорой

   30,00 кН·м

   Над правой стойкой момент 30,00 кН·м по модулю, растянуты верхние волокна. Это первый кандидат в опасное сечение.

3. 3

   Пролёт: где обращается в ноль поперечная сила

   В пролёте момент достигает максимума там, где Q переходит через ноль. Поперечная сила у левой опоры равна реакции 25,00 кН и убывает вместе с накоплением распределённой нагрузки: делим реакцию на интенсивность и получаем координату.

   Подставляем найденную координату 2,50 м в выражение для момента. Получается 31,25 кН·м — второй кандидат, и он всего на долю больше консольного.

   $$Q(z) = R_{Ay} - q z = 0 \;\Rightarrow\; z_{0} = \frac{R_{Ay}}{q}$$
   $$z_{0} = \frac{25{,}00}{10} = 2{,}50\ \text{м}, \qquad M(z_{0}) = 25{,}00 \cdot 2{,}50 - \frac{10 \cdot 2{,}50^{2}}{2} = 31{,}25\ \text{кН·м}$$
   Координата максимума

   2,50 м

   Момент в пролёте

   31,25 кН·м

   Максимум в пролёте 31,25 кН·м на расстоянии 2,50 м от левой опоры. Разница с консольным 30,00 кН·м — меньше полутора кН·м.

4. 4

   Сравниваем два максимума

   Опасное сечение — там, где момент наибольший ПО МОДУЛЮ, независимо от знака: сечение из симметричного проката одинаково работает и на растяжение сверху, и снизу. Сравниваем 31,25 кН·м и 30,00 кН·м и берём больший.

   Поперечная сила при этом ведёт себя иначе: наибольшая по модулю −35,00 кН стоит слева от правой стойки, где к накопленной распределённой нагрузке добавляется сила консоли. Проверять касательные напряжения надо именно там.

   $$M_{max} = \max\left(\left|M_{\text{пролёт}}\right|,\ \left|M_{\text{консоль}}\right|\right)$$
   $$\max\left(31{,}25\ \text{кН·м};\ 30{,}00\ \text{кН·м}\right) = 31{,}25\ \text{кН·м} \ \text{при} \ z = 2{,}50\ \text{м}$$
   Расчётный момент

   31,25 кН·м

   Наибольшая поперечная сила

   −35,00 кН

   Побеждает пролёт: 31,25 кН·м. Но запас над консольным 30,00 кН·м мизерный — стоит удлинить вылет на полметра, и опасное сечение переедет на опору.

5. 5

   Стойки: только сжатие

   Через жёсткие узлы на стойки переходит вертикальная нагрузка. Горизонтальных сил на раме нет, поэтому поперечная сила в стойках нулевая, а момент по всей высоте постоянен и равен нулю у шарнирных опор — стойки работают чисто на сжатие.

   Правая стойка нагружена вдвое сильнее левой: она держит и половину пролёта, и всю консоль. При подборе сечения колонн это существенно — по устойчивости они получатся разными.

   $$N_{\text{стойки}} = -R_{\text{опоры}}$$
   $$N_{\text{левой}} = -25{,}00\ \text{кН}, \qquad N_{\text{правой}} = -50{,}00\ \text{кН}$$
   Сжатие левой стойки

   −25,00 кН

   Сжатие правой стойки

   −50,00 кН

   Левая стойка сжата −25,00 кН, правая −50,00 кН. Моментов в стойках нет, эпюра M на них пустая.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Статически определимые рамы», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Дарков А. В. Строительная механика, гл. 3.

• Берут опасное сечение только в пролёте

  Здесь пролётный 31,25 кН·м и консольный 30,00 кН·м различаются меньше чем на пять процентов. Стоит чуть удлинить вылет — и победит опора. Считайте оба и сравнивайте по модулю.

• Ищут ноль поперечной силы на консоли

  На консоли Q постоянна и знак не меняет — экстремума момента внутри неё нет. Наибольший момент консоли всегда у опоры: 30,00 кН·м.

• Считают плечо силы консоли от правой опоры

  В уравнении моментов относительно ЛЕВОЙ опоры плечо силы 15 кН равно сумме пролёта и вылета, а не одному вылету. Отсюда и берётся разница между 50,00 кН и 25,00 кН.

• Забывают про скачок Q над опорой

  Слева от правой стойки поперечная сила −35,00 кН, справа — всего 15 кН. Реакция 50,00 кН рвёт эпюру Q ровно на свою величину; непрерывная эпюра в этом месте означает потерянную реакцию.