Момент силы относительно точки: плечо, знак, теорема Вариньона

Коротко. Момент силы относительно точки — её поворачивающее действие вокруг этой точки. В плоской задаче он равен силе, умноженной на плечо — кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы, — и берётся со знаком плюс, если сила поворачивает против часовой стрелки.

Формула и плечо

Плечо — перпендикуляр из точки на линию действия силы, а не расстояние до точки приложения. Если линия действия проходит через точку, плечо и момент равны нулю — этим пользуются, выбирая точку для уравнения моментов там, где сходятся неизвестные реакции.

В пространстве момент — вектор, равный векторному произведению радиус-вектора точки приложения на силу.

Плоский случай
MO(F⃗)=±F hM_O(\vec F) = \pm F\,h
В векторной форме
M⃗O(F⃗)=r⃗×F⃗\vec M_O(\vec F) = \vec r \times \vec F

Теорема Вариньона

Момент равнодействующей относительно точки равен сумме моментов составляющих. Практический смысл: наклонную силу удобно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие и взять момент каждой — плечи у них находятся сразу по размерам на чертеже.

Через проекции
MO=x Fy−y FxM_O = x\,F_y - y\,F_x

Наклонная сила: два способа, один ответ

Сила F приложена в точке (x; y) и направлена под углом α к горизонтали. Её момент относительно начала координат можно найти двумя путями — и сверить один с другим, это лучшая самопроверка на контрольной.

Первый путь — по Вариньону. Разложите силу: Fx = F·cos α, Fy = F·sin α. Вертикальная составляющая поворачивает вокруг O на плече x, горизонтальная — на плече y, и поворачивают они в разные стороны. Отсюда M = x·Fy − y·Fx.

Второй путь — через плечо. Расстояние от O до линии действия силы h = |x·sin α − y·cos α|, и M = F·h со знаком по направлению поворота. Подставьте проекции в первую формулу — получится то же выражение, умноженное на F: два способа обязаны дать одно число.

Из той же формулы видно, почему плечо бывает намного меньше расстояния до точки приложения: при x·sin α, близком к y·cos α, линия действия проходит почти через O, и момент почти нулевой, сколько бы далеко ни была точка. Студент, взявший расстояние до точки, получит момент в разы больше настоящего.

По Вариньону
MO=x Fsin⁡α−y Fcos⁡αM_O = x\,F\sin\alpha - y\,F\cos\alpha
Через плечо
h=∣xsin⁡α−ycos⁡α∣,∣MO∣=F hh = |x\sin\alpha - y\cos\alpha|, \quad |M_O| = F\,h

Плечо в трёх положениях силы

Вертикальная сила: плечо — горизонтальное расстояние от точки до линии силы, разность координат x. Так считают почти все моменты в балках: нагрузка вертикальна, плечо — расстояние вдоль балки.

Горизонтальная сила: плечо — вертикальное расстояние, разность координат y. В рамах это ветровая нагрузка на стойку и горизонтальные реакции опор: их плечо — высота над точкой.

Наклонная сила: перпендикуляр строить не нужно — разложите силу на две составляющие и сложите их моменты, как в примере выше. Это быстрее и ошибиться в геометрии негде.

Момент распределённой нагрузки

Распределённую нагрузку в уравнении моментов заменяют равнодействующей. Для равномерной q на участке длиной a равнодействующая равна q·a и стоит посередине участка; для треугольной с наибольшей ординатой q — q·a/2 на трети участка от широкого края.

На консоли длиной l под равномерной нагрузкой q равнодействующая q·l стоит на расстоянии l/2 от заделки, и её момент q·l²/2 — ровно реактивный момент заделки. Эту формулу полезно помнить: по ней сразу видно, верно ли посчитана эпюра M консоли.

Равномерная
MO=q a⋅(d+a2)M_O = q\,a \cdot \left(d + \frac{a}{2}\right)
Треугольная
R=q a2,точка — a3 от широкого краяR = \frac{q\,a}{2}, \quad \text{точка — } \frac{a}{3} \text{ от широкого края}

Где обычно ошибаются

  • Взять расстояние до точки приложения

    Плечо — перпендикуляр к линии действия силы; у наклонной силы это не то же самое.

  • Смешать правила знаков

    Выберите одно правило (против часовой — плюс) и держите его во всём уравнении.

  • Считать момент пары относительно точки

    Момент пары от точки не зависит — он просто входит в сумму моментов своим значением.

  • Ставить равнодействующую треугольной нагрузки посередине

    У треугольника центр тяжести — на трети от широкого края, а не в середине; ошибка сдвигает момент на треть.

Разобрать свою задачу с Репетитором

Ответит по учебникам и покажет источник. Нажмите вопрос — он откроется в чате, останется отправить.

Как найти плечо наклонной силы?Объясни теорему Вариньона на примереОтносительно какой точки выгоднее писать уравнение моментов?Чем момент силы отличается от момента пары сил?
Что умеет Репетитор по теоретической механике →

Частые вопросы

Чем момент силы отличается от момента пары?

Момент силы зависит от выбранной точки, момент пары — нет: у пары он одинаков относительно любой точки плоскости.

Относительно какой точки удобнее записывать моменты?

Относительно той, через которую проходят линии действия наибольшего числа неизвестных сил: их моменты обнулятся, и уравнение даст одну неизвестную сразу.

Соседние темы

Виды связей и их реакции: шарнир, заделка, стержень, нитьПринцип Даламбера: силы инерции и метод кинетостатикиМгновенный центр скоростей: как найти и зачем он нужен