Как подобрать диаметр вала при изгибе с кручением

1. 1

   Ось вала и эквивалентный момент

   Ось вала ведём вдоль него, начало отсчёта — в опасном сечении с наибольшим изгибающим моментом. Подбор начинается с той же величины, что и проверка: эквивалентный момент не зависит от размеров сечения, только от нагрузки и выбранной теории.

   Это и делает подбор возможным в одно действие. Если бы эквивалентный момент зависел от диаметра, пришлось бы решать уравнение итерациями, как при кольцевом сечении с фиксированной толщиной стенки.

   $$M_{экв} = \sqrt{M^2 + 0{,}75\,M_к^2}$$
   $$M_{экв} = \sqrt{1200^2 + 0{,}75 \cdot 900^2} = 1430{,}9\ \text{Н·м}$$
   Эквивалентный момент

   1430,9 Н·м

   Эквивалентный момент 1430,9 Н·м по четвёртой теории — дальше вал считаем как балку на чистый изгиб.

2. 2

   Диаметр из условия прочности

   Условие прочности с подстановкой момента сопротивления круга решается относительно диаметра явно: кубический корень берётся сразу, никакого перебора не нужно. Множитель 32 в числителе — из формулы осевого момента сопротивления, не полярного.

   Диаметр входит в третьей степени, поэтому напряжение падает быстро: прибавка пяти процентов к диаметру снимает около пятнадцати процентов напряжения. Это же объясняет, почему подбор редко промахивается сильно.

   $$D \ge \sqrt[3]{\frac{32 M_{экв}}{\pi [\sigma]}}$$
   $$D \ge \sqrt[3]{\frac{32 \cdot 1430{,}9 \cdot 10^3}{\pi \cdot 80}} = 56{,}69\ \text{мм}$$
   Точный диаметр

   56,69 мм

   По III теории

   58 мм

   Точное значение 56,69 мм. По третьей теории вышло бы 58 мм — консервативнее, но ненамного.

3. 3

   Округление и пересчёт

   Округляем ВВЕРХ до целого миллиметра. Округление вниз даёт вал, который по расчёту не проходит, а на чертеже стоит с пометкой «по расчёту» — это прямая ошибка, а не мелочь оформления.

   После округления напряжение обязательно пересчитывают: в пояснительную записку идёт именно эта цифра, а не та, что получилась до округления. Заодно видно, насколько плотно загружен вал.

   $$W = \frac{\pi D^3}{32}; \qquad \sigma_{экв} = \frac{M_{экв}}{W}$$
   $$D = 57\ \text{мм}; \qquad W = 18181\ \text{мм³}; \qquad \sigma_{экв} = 78{,}70\ \text{МПа}$$
   Принятый диаметр

   57 мм

   σэкв при принятом D

   78,70 МПа

   Использование

   98,4 %

   Принимаем 57 мм. Напряжение 78,70 МПа при допускаемом 80 МПа — сечение использовано на 98,4 %, запас 1,02.

4. 4

   Что дальше делать с этим числом

   Расчётный диаметр — не окончательный. Его согласуют с рядом нормальных линейных размеров, с посадочными местами подшипников и с ослаблениями от шпоночного паза: паз срезает часть сечения, и момент сопротивления падает.

   Поэтому конструктор почти всегда назначает диаметр больше расчётного. Использование сечения 98,4 % говорит, сколько запаса уже есть: если оно близко к сотне процентов, шпоночный паз придётся компенсировать увеличением диаметра.

   $$D_{чертёж} \ge D_{расч}$$
   $$D_{расч} = 57\ \text{мм}, \qquad \text{использование } 98{,}4\,\%$$

   Расчёт даёт нижнюю границу 57 мм. Ближайший стандартный размер вверх и будет тем, что попадёт на чертёж.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Сложное сопротивление», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, гл. «Сложное сопротивление».

• Округляют расчётный диаметр вниз

  Точное значение 56,69 мм обращает условие прочности в равенство. Округлив до целого вниз, получим вал с напряжением выше допускаемого — принимаем 57 мм.

• Не пересчитывают напряжение после округления

  В записку должно идти напряжение при ПРИНЯТОМ диаметре — здесь 78,70 МПа, а не то, что получилось до округления. Иначе использование сечения и запас будут указаны неверно.

• Ставят в формулу полярный момент сопротивления

  Множитель 32 — из формулы осевого момента πD³/32. С полярным πD³/16 диаметр получится заниженным примерно на двадцать процентов.

• Считают расчётный диаметр окончательным

  Расчёт даёт нижнюю границу. Дальше диаметр согласуют с рядом нормальных размеров, с подшипниками и со шпоночным пазом, который ослабляет сечение.