Как раскрыть двухпролётную раму методом сил
Двухпролётная рама статически неопределима: три опоры дают 4 связи при трёх уравнениях равновесия, то есть степень неопределимости равна 1. Одну связь отбрасывают, вместо неё ставят неизвестную силу X₁ и находят её из условия, что перемещение по направлению отброшенной связи равно нулю. Дальше схема считается как обычная статически определимая.
Добавить среднюю опору кажется безобидным — а задача при этом меняет класс: уравнений равновесия по-прежнему три, а неизвестных реакций становится четыре. Статика здесь бессильна не потому, что сложно, а потому, что информации не хватает физически.
Схема: два пролёта по 6 м на стойках высотой 4 м, равномерная нагрузка 10 кН/м на обоих ригелях. Ответ у этой схемы известен из справочника для двухпролётной неразрезной балки, и мы им в конце воспользуемся — не чтобы посчитать, а чтобы проверить.
Недостающее уравнение даёт деформация: перемещение по направлению отброшенной связи должно быть нулевым, потому что связь там на самом деле есть.
Дано
Расчётная схема
Разбор по шагам
- 1
Степень неопределимости
Ось z ведём по каждому ригелю от левого узла вправо, начало отсчёта перемещений — в точке отброшенной связи. Считаем связи: две шарнирно-подвижные опоры дают по одной, шарнирно-неподвижная — две, итого 4 при трёх уравнениях статики. Разница 1 и есть степень статической неопределимости — столько лишних неизвестных придётся находить не из равновесия.
Степень1 - 2
Основная система
Отбрасываем одну связь — вертикальную в средней опоре — и получаем статически определимую основную систему. Вместо отброшенной связи прикладываем неизвестную силу X₁: физически ничего не изменилось, если X₁ окажется равной той самой реакции.
Выбор отбрасываемой связи не влияет на ответ, но влияет на объём работы: удобнее отбрасывать ту, при которой основная система распадается на простые куски. Здесь это средняя опора — без неё остаётся обычная рама на двух опорах.
- 3
Коэффициенты канонического уравнения
Строим две эпюры моментов: единичную — от X₁ = 1 в основной системе, и грузовую — от заданной нагрузки. Перемножив единичную саму на себя, получаем 144,000 — перемещение по направлению X₁ от единичной силы. Перемножив единичную на грузовую, получаем −3240,000 — перемещение от нагрузки.
Перемножение идёт по Верещагину или по Симпсону: площадь одной эпюры на ординату другой под её центром тяжести. Знак у −3240,000 отрицательный — значит, нагрузка гонит точку в сторону, противоположную выбранному направлению X₁.
δ₁₁144,000Δ₁P−3240,000 - 4
Лишняя неизвестная
Каноническое уравнение решается делением: перемещение от нагрузки делим на перемещение от единичной силы с обратным знаком. Получаем X₁ = 22,500 кН — это и есть реакция средней опоры.
X₁22,500 кНСредняя опора берёт 22,500 кН — заметно больше крайних.
- 5
Проверка по справочнику
Схема симметрична, и для неразрезной балки из двух равных пролётов под равномерной нагрузкой ответ есть в любом справочнике: средняя опора берёт 1,25·q·l, крайние по 0,375·q·l, момент над средней опорой равен q·l²/8.
Считаем: справочные 75,000 кН и 22,500 кН против полученных 75,000 кН и 22,500 кН, справочный момент 45,000 кН·м против 45,000 кН·м. Совпало всё — значит, и основная система выбрана верно, и эпюры перемножены правильно.
Средняя опора75,000 кНМомент над ней45,000 кН·м
Эпюры Q и M
Посчитайте свои числа
Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Метод сил», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.
Почему средняя опора берёт больше половины
На двух отдельных балках каждая опора взяла бы по половине своего пролёта. Стоит сделать ригель неразрезным, и картина меняется: над средней опорой появляется отрицательный момент, который «притягивает» балку вниз и догружает эту опору.
Численно это и даёт 1,25·q·l вместо 1,0·q·l — средняя опора берёт на четверть больше, чем взяли бы две отдельные балки, а крайние соответственно разгружаются до 0,375·q·l вместо 0,5·q·l.
Практический вывод инженерный, а не учебный: делая прогон неразрезным, нельзя оставлять среднюю опору рассчитанной как для разрезной схемы. Это классическая ошибка в курсовых по металлоконструкциям, и она уходит в запас прочности со знаком минус.
Где обычно ошибаются
Считают схему статически определимой
Три опоры — это 4 связи при трёх уравнениях. Попытка найти четыре реакции из трёх уравнений даёт систему без единственного решения, и обычно её «решают», молча отбросив одно слагаемое.
Путают знак у Δ₁P
Знак перемещения от нагрузки показывает, в какую сторону нагрузка гонит точку относительно выбранного направления X₁. Потеряв его, получают X₁ с обратным знаком и опору, которая тянет вместо того, чтобы держать.
Перемножают эпюры разных состояний неправильно
По Верещагину площадь берут у ОДНОЙ эпюры, а ординату под её центром тяжести — у другой, причём вторая обязана быть линейной на этом участке. Для параболы приходится либо разбивать участок, либо идти по Симпсону.
Проверяют только равновесие
Равновесие сойдётся при любом X₁ — основная система статически определима по построению. Проверять надо перемещение: оно обязано быть нулевым там, где связь отброшена.
Частые вопросы
Какую связь лучше отбрасывать?
Любую, лишь бы оставшаяся система была статически определима и геометрически неизменяема. На ответ выбор не влияет — влияет на объём счёта: удобнее та, при которой эпюры получаются проще.
Можно ли эту раму посчитать модулем «Рамы»?
Нет, и он честно об этом скажет: четыре опорные связи при трёх уравнениях статики. Это задача метода сил, и считается она здесь.
Калькулятор статически определимых рам →Почему δ₁₁ всегда положительна?
Это перемещение по направлению силы от неё же самой: единичная сила всегда смещает точку в свою сторону. Отрицательная δ₁₁ означает ошибку в перемножении, а не особую схему.
Что будет, если пролёты разной длины?
Метод тот же, но справочной формулой уже не проверить: 1,25·q·l выведено для равных пролётов. Проверять придётся вторым способом перемножения или расчётом на калькуляторе.
Нужно ли учитывать жёсткость стоек?
В перемещениях — да, стойки входят в интегралы наравне с ригелями. В этой схеме они не нагружены поперёк и в δ₁₁ дают нулевой вклад, но в общем случае их пропускать нельзя.