Полный расчёт консольной балки

1. 1

   Ось отсчёта и реакции заделки

   Ось z ведём от заделки вправо: z = 0 — сечение в заделке, z = 3 м — свободный конец. Прогиб меряем вдоль оси y, направленной вверх, поэтому вниз он будет отрицательным. Эти обозначения держатся до последнего шага.

   Заделка даёт три реакции, но горизонтальных сил в схеме нет, и продольная обращается в ноль. Остаются вертикальная сила и реактивный момент — их и ищем из двух уравнений равновесия.

   $$R_A = q l + F; \qquad M_A = \frac{q l^{2}}{2} + F l$$
   $$\begin{aligned} R_A &= 12 \cdot 3 + 15 = 51\ \text{кН} \\ M_A &= \frac{12 \cdot 3^{2}}{2} + 15 \cdot 3 = 99{,}0\ \text{кН·м} \end{aligned}$$
   Вертикальная реакция

   51 кН

   Момент в заделке

   99,0 кН·м

   Заделка держит 51 кН и момент 99,0 кН·м. Обратите внимание на вклады: нагрузка даёт втрое больший момент, чем сила, — потому что её равнодействующая приложена в середине вылета, а сила на самом краю.

2. 2

   Эпюры Q и M: где опасное сечение

   У консоли считать удобнее со свободного конца — справа от сечения нет ни реакций, ни реактивного момента, только отрезанный кусок нагрузки. Ось при этом остаётся прежней, меняется сторона суммирования: это разные вещи, и путать их не стоит.

   Поперечная сила растёт линейно от 15 кН на конце до 51 кН в заделке, момент — параболой. Максимум обоих в заделке: у консоли опасное сечение всегда там, и искать его отдельно не нужно.

   $$Q(z) = F + q\,(l - z); \qquad M(z) = -F (l - z) - \frac{q (l - z)^{2}}{2}$$
   $$Q(0) = 51\ \text{кН}; \qquad \left|M(0)\right| = 99\ \text{кН·м}$$
   Расчётный момент

   99 кН·м

   Наибольшая поперечная сила

   51 кН

   Расчётный момент 99 кН·м в сечении z = 0 м; поперечная сила там же наибольшая — 51 кН.

3. 3

   Требуемый момент сопротивления и профиль

   Условие прочности при изгибе связывает момент, момент сопротивления и допускаемое напряжение. Неизвестен здесь только W, и выражается он в одно действие.

   Дальше — сортамент. Берём ближайший профиль, у которого момент сопротивления НЕ МЕНЬШЕ требуемого: округление вниз выводит напряжение за допускаемое, пусть и на доли процента.

   $$W \ge \frac{M_{max}}{[\sigma]}$$
   $$W \ge \frac{99 \cdot 10^{6}}{160} = 618750\ \text{мм³} \;\Rightarrow\; W_{\text{профиля}} = 641301\ \text{мм³}$$
   Требуемый W

   618750 мм³

   W принятого профиля

   641301 мм³

   Требуется 618750 мм³, у принятого профиля 641301 мм³ при высоте 346 мм и площади 5268 мм². Профиль на номер меньше давал бы всего 498539 мм³ — не хватает.

4. 4

   Проверка прочности

   Обратная подстановка — не формальность: она ловит и промах строкой в таблице сортамента, и потерянный множитель 10⁶ при переводе кН·м в Н·мм. Если ошиблись где-то выше, напряжение выйдет нелепым, и это будет видно сразу.

   Запас всего 3,5 % — подбор экономный, металла лишнего нет. Для сравнения: у профиля на номер меньше напряжение было бы 198,6 МПа при допускаемых 160 МПа, то есть перегруз почти на четверть.

   $$\sigma_{max} = \frac{M_{max}}{W} \le [\sigma]$$
   $$\sigma_{max} = \frac{99 \cdot 10^{6}}{641301} = 154{,}4\ \text{МПа} \le 160$$
   Фактическое напряжение

   154,4 МПа

   Запас прочности

   3,5 %

   154,4 МПа против допускаемых 160 МПа — прочность обеспечена, запас 3,5 %.

5. 5

   Прогиб конца консоли

   Наибольший прогиб у консоли всегда на свободном конце — там же, где наибольший угол поворота. Считаем его от двух нагрузок отдельно и складываем: пока материал работает упруго, перемещения суммируются.

   Числа поучительны сами по себе. Нагрузка дала момент втрое больше, чем сила, а прогиба — меньше: 5,32 мм против 5,91 мм. Дело в плече: у силы на конце оно максимально на всей длине, а распределённая нагрузка ближе к заделке почти не работает на перемещение.

   $$v_{max} = \frac{q l^{4}}{8\,EJ} + \frac{F l^{3}}{3\,EJ}$$
   $$\left|v\right|_{max} = 5{,}32\ \text{мм} + 5{,}91\ \text{мм} = 11{,}22\ \text{мм}$$
   Прогиб конца

   11,22 мм

   Угол поворота конца

   0,305 град

   Конец консоли опускается на 11,22 мм и поворачивается на 0,305 град. Знак прогиба в ответе ядра отрицательный — это направление вниз, а не ошибка.

6. 6

   Проверка жёсткости

   Норму берём в долях вылета: [v] = l/200. Сравнивать нужно модуль прогиба с этой величиной — обе в миллиметрах, знак к делу не относится.

   Условие выполняется с запасом 25,2 %. То есть профиль, подобранный по прочности впритык, по жёсткости прошёл свободно — и второй круг подбора не нужен.

   $$\left|v\right|_{max} \le [v] = \frac{l}{n}$$
   $$11{,}22\ \text{мм} \le \frac{3}{200} \cdot 10^{3} = 15{,}0\ \text{мм}$$
   Допускаемый прогиб

   15,0 мм

   Запас жёсткости

   25,2 %

   11,22 мм при допускаемых 15,0 мм — жёсткость обеспечена, запас 25,2 %. Оба условия выполнены, профиль принимается окончательно.

Ниже — тот же калькулятор, что и в разделе «Балки», уже заполненный данными примера. Поменяйте длину или нагрузку и нажмите «Рассчитать» — получите свои эпюры и полный ход решения.

Источник: Феодосьев В. И. Сопротивление материалов, §4.5; СП 20.13330, прил. Д.

• Ищут опасное сечение перебором точек

  У консоли с нагрузкой одного знака и момент, и поперечная сила монотонно растут к заделке. Максимум там всегда — 99 кН·м при z = 0 м. Перебирать сечения незачем, достаточно посмотреть на эпюру.

• Забывают силу на конце в моменте заделки

  Момент складывается из двух слагаемых: от распределённой нагрузки и от силы. Потеряв второе, получите вместо 99,0 кН·м лишь часть и подберёте профиль, которого не хватит.

• Берут плечо распределённой нагрузки равным вылету

  Равнодействующая ql приложена в середине участка, поэтому плечо l/2, а момент ql²/2. С полным плечом вышло бы вдвое больше — ошибка, которая делает расчёт неэкономным вдвое.

• Складывают прогибы от нагрузок с разными знаками наугад

  Здесь обе нагрузки направлены вниз, поэтому 5,32 мм и 5,91 мм складываются. Если бы сила смотрела вверх, слагаемые вычитались бы — знак берут из направления, а не из таблицы формул.

• Считают, что раз прочность прошла впритык, жёсткость точно не пройдёт

  Условия независимы. Запас прочности здесь 3,5 %, а жёсткости — 25,2 %: короткий вылет прощает напряжения хуже, чем перемещения.