Расчёт на устойчивость сжатого стержня

Расчёт на устойчивость проверяет, не выпучится ли сжатый стержень раньше, чем разрушится. Порядок всегда один: гибкость λ = μl / i_min, по ней — формула для критической силы (Эйлер при большой гибкости, Ясинский при средней, при малой — обычная прочность), затем запас n = Fкр / F сравнивают с требуемым.

Длинная сжатая стойка отказывает не так, как растянутый стержень. При некоторой силе прямая форма перестаёт быть устойчивой: малейший перекос, и стержень уходит вбок — продольный изгиб. Напряжения в этот момент бывают далеко от предела текучести, поэтому проверка на прочность такую опасность не видит вовсе.

Сила, при которой это происходит, называется критической, и найти её — главная цель расчёта. Сложность в том, что формула для неё зависит от того, насколько стержень гибкий, и выбрать формулу неправильно — самая частая ошибка в этих задачах.

Критическая сила и формула Эйлера

Эйлер нашёл силу, при которой у идеально прямого упругого стержня появляется изогнутая форма равновесия. Она растёт с жёсткостью сечения EI и падает с квадратом длины: вдвое более длинная стойка держит вчетверо меньше.

В формулу идёт НАИМЕНЬШИЙ момент инерции: стержень выпучится туда, где ему легче. У двутавра это ось, параллельная стенке, — и момент относительно неё в разы меньше табличного главного.

Критическая сила (Эйлер)
Fкр=π2EImin(μl)2F_{кр} = \frac{\pi^{2} E I_{min}}{(\mu l)^{2}}
Критическое напряжение
σкр=FкрA=π2Eλ2\sigma_{кр} = \frac{F_{кр}}{A} = \frac{\pi^{2} E}{\lambda^{2}}

Коэффициент приведения длины μ

Закрепление концов меняет форму выпучивания, и это учитывается одним числом — коэффициентом приведения длины μ. Произведение μl — длина такой шарнирной стойки, которая теряет устойчивость при той же силе.

Четыре классические схемы: шарниры на обоих концах — μ = 1; заделка и свободный конец — μ = 2; две заделки — μ = 0,5; заделка и шарнир — μ = 0,7. Консоль при той же длине держит в шестнадцать раз меньше стойки с двумя заделками — разница в схеме важнее разницы в сечении.

Приведённая длина и гибкость
l0=μl,λ=μliminl_0 = \mu l, \qquad \lambda = \frac{\mu l}{i_{min}}

Три зоны гибкости: какую формулу брать

Эйлер выведен для упругого материала и честен, пока критическое напряжение не превысило предел пропорциональности. Отсюда предельная гибкость λпред: для стали Ст3 она около ста. Выше неё — зона Эйлера.

Между λ₀ и λпред стержень теряет устойчивость уже с пластическими деформациями, и Эйлер завышает силу — ошибается в опасную сторону. Здесь работает эмпирическая прямая Ясинского с коэффициентами a и b для материала.

Ниже λ₀ стержень короткий: выпучиться он не успевает и разрушается от сжатия. Для него критическое напряжение принимают равным пределу текучести и считают обычную прочность.

Предельная гибкость
λпред=πEσпц\lambda_{пред} = \pi\sqrt{\frac{E}{\sigma_{пц}}}
Граница коротких стержней
λ0=a−σтb\lambda_0 = \frac{a - \sigma_т}{b}
Ясинский (средняя гибкость)
σкр=a−bλ\sigma_{кр} = a - b\lambda

Запас устойчивости и проверка через φ

Найденную критическую силу сравнивают с действующей: запас устойчивости n = Fкр / F должен быть не меньше требуемого. Для стали его берут больше, чем запас прочности, — потеря устойчивости внезапна и не предупреждает деформациями.

Нормы (СП «Стальные конструкции») идут другим путём: не ищут критическую силу, а снижают расчётное сопротивление коэффициентом продольного изгиба φ, зависящим от гибкости. Это независимая проверка, и если два способа расходятся, ошибка не в арифметике, а в исходных данных.

Запас устойчивости
nу=FкрF≥[nу],[F]=Fкр[nу]n_у = \frac{F_{кр}}{F} \ge [n_у], \qquad [F] = \frac{F_{кр}}{[n_у]}
Проверка по нормам
σ=NφA≤Ryγc\sigma = \frac{N}{\varphi A} \le R_y \gamma_c

На числах

Стойка из двутавра, шарниры по концам, длина 3,0 м, сила 200 кН: гибкость 144,2 больше предельной 99,3, значит работает Эйлер.

Радиус инерции i_min
20,80 мм
Гибкость λ
144,2
Предельная гибкость
99,3
Критическая сила
254,3 кН
Запас устойчивости
1,27
Коэффициент φ
0,294
Где стойка лежит на графике критических напряжений по гибкости
Где стойка лежит на графике критических напряжений по гибкости
Весь разбор целиком: Как проверить сжатый стержень на устойчивость →

Где обычно ошибаются

  • Считают по Эйлеру, не посчитав гибкость

    Формула Эйлера верна только выше предельной гибкости — здесь это 99,3. Ниже она завышает критическую силу, то есть обещает запас, которого нет.

  • Берут главный момент инерции вместо наименьшего

    Стержень выпучивается в плоскости наименьшей жёсткости. В примере расчёт идёт по 1159475 мм⁴: с табличным главным моментом критическая сила вышла бы в разы больше настоящей.

  • Путают коэффициент приведения у консоли

    У стойки с заделкой внизу и свободным верхом μ = 2, а не 0,5: свободный конец делает её вдвое «длиннее» шарнирной. Перепутав, получают силу в шестнадцать раз больше.

  • Сравнивают запас устойчивости с запасом прочности

    Требуемый запас по устойчивости свой и обычно больше. В примере запас 1,27 при требуемом 2,0: по прочности стойка прошла бы, по устойчивости — нет.

Частые вопросы

Чем расчёт на устойчивость отличается от расчёта на прочность?

Прочность спрашивает, выдержит ли материал напряжение. Устойчивость — сохранит ли стержень прямую форму. У длинной стойки второе наступает раньше первого, и проверка на прочность её не спасёт.

Что такое продольный изгиб?

Это и есть потеря устойчивости сжатого стержня: сила действует вдоль оси, а стержень изгибается вбок. Отсюда название коэффициента φ — коэффициент продольного изгиба.

Нужно ли проверять на устойчивость растянутые стержни?

Нет. Растяжение стержень выпрямляет, а не выпучивает. В фермах на устойчивость проверяют только сжатые стержни — поэтому сечения у поясов и раскосов часто разные.

Подбор сечения стержня фермы →
Можно ли посчитать устойчивость онлайн?

Да: калькулятор считает гибкость, выбирает зону, находит критическую силу и запас и проверяет стойку через φ — с ходом решения по шагам.

Калькулятор устойчивости →

Попробовать на своей задаче

Сложное сопротивление — считать онлайн

Рядом по теме